- •Базис на плоскости и в пространстве
- •Линейные операции над векторами в координатах. Ортонормированный базис и прямоугольные координаты.
- •Свойства векторного произведения
- •Смешанное произведение, его геометрический смысл, свойства. Смешанное произведение в координатах.
- •Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.
- •Уравнение прямой на плоскости.
- •Директрисы эллипса и гиперболы.
- •Эксцентриситет. Фокальный параметр.
- •Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы.
- •Исследование формы поверхностей 2-го порядка по их каноническим уравнениям.
- •Прямолинейные образующие поверхностей 2-го порядка.
- •Классификация поверхностей 2-го порядка.
- •Понятие о линейном пространстве.
- •Изоморфизм линейных пространств. Переход к новому базису.
- •Понятие евклидова пространства.
- •Евклидово пространство Rn.Аффинная и прямоугольная системы координат в Rn.
- •Отрезок в Rn
- •Плоскость в Rn
- •Перспективное соответствие между плоскостью и связкой.
- •Однородные координаты. Уравнение прямой на плоскости в однородных координатах.
- •Общее определение проективной плоскости. Принцип двойственности для проективной плоскости.
- •Понятие метрического пространства. Непрерывные отображения метрических пространств.
- •Открытые и замкнутые множества.
- •Понятие топологического пространства.
- •Аксиомы отделимости.
- •Произведение топологических пространств. Факторизация топологических пространств.
- •Компактность и связность топологических пространств.
Перспективное соответствие между плоскостью и связкой.
Это когда через каждую точку М плоскости π, проходит единственная прямая ОМ=m, связки О. Данной соответствие между всеми точками плоскости π и лучами связки О называют перспективным соответствием.
Однородные координаты. Уравнение прямой на плоскости в однородных координатах.
Всякая тройка чисел х1,х2,х3 пропорциональная тройке чисел х,у,1 называется тройкой однородных координат точки М в данной аффинной системе координат О1е1е2.
а1х1+а2х2+а3х3=0
Общее определение проективной плоскости. Принцип двойственности для проективной плоскости.
Проективной плоскостью называется всякое множество Р, состоящее из элементов 2 родов, называющееся соответствием между точкой и прямой, связанных некоторым отношением, называемым отношением инцидентности между какой либо точкой и какой либо прямой.
Если верно какое либо предложение, касающееся точек, прямых и отношения инцидентности между ними, тогда будет верным и двойственное предложение, получаемое если в данном предложении поменять местами слова прямая и точка.
Понятие метрического пространства. Непрерывные отображения метрических пространств.
Метрикой на множестве Х называется однозначная неотрицательная функция ρ(х,у), определенная для любых элементов х и у и удовлетворяющих аксиомам.
ρ(х,у)=0 x=y
ρ(х,у)= ρ(y,x)
ρ(х,у)+ ρ(y,z)= ρ(х,z)
Множество Х с какой либо метрикой, называется метрическим пространством.
Отображение f:xy называется непрерывным в точке х0 Х, если для каждого >0 существует такое число δ>0, такое, что для все х Х: ρ(x,x0)< δ выполняется условие ρ2(f(x),f(x0))<
Открытые и замкнутые множества.
Множество М называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Точка х R, называется предельной точкой множества МсR, если в любой окрестности точки х содержится бесконечно много точек из М.
Множество, у которого все точки внутренние называется открытым множеством.
Точка х называется внутренней точкой множества М, если существует окрестность этой точки целиком лежащая в множестве М.
Понятие топологического пространства.
Топологией в х называется любая система τ его подмножеств, удовлетворяющая условиям:
Множество х и пустое множество принадлежат τ.
Сумма любого (конечного или бесконечного) числа, и пересечение любого конечного числа из множества τ принадлежит τ.
Множество х с заданной топологией τ, т.е. пара (х, τ) называется топологическим пространством.
Аксиомы отделимости.
Для любых двух точек х, у Т существует окрестность Ох точки х, не содержащая у, и существует окрестность Оу не содержащая у.
Любые две различные точки х, у Т имеют непересекающиеся окрестности Ох и Оу.
Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.
Любые два непересекающихся замкнутых множества имеют непересекающиеся окрестности
Произведение топологических пространств. Факторизация топологических пространств.
Прямым произведением множеств Х * У называется совокупность упорядоченных пар (х, у), где х Х, у У.
Пусть на множестве Х*У задана база топологии {Uα*Vβ}.
Топология, определяемая базой {Uα*Vβ} называется топологией произведения.
Пусть Х произвольное множество, и 2 элемента х, у Х связаны некоторым отношением х~y. Это отношение называется отношением эквивалентности, если выполняются условия:
x~x
x~y, y~x
x~y, y~x x~z
Множество, с заданным на нем отношением эквивалентности называется факторпространством.