Примеры счетных множеств

Множество целых чисел Z является счетным (Z ~ N).

Доказательство. Пронумеруем числа из Z:

N	1	2	3	4	…
Z	0	-1	1	2	…

Рациональные числа R образуют счётное множество.

Доказательство.

Любое рациональное число можно представить в виде : , mZ, nN.

Введем понятие высоты h рационального числа: h = |m| + n.

Каждой высоте соответствует конечное число рациональных чисел:

h = 1: . h = 2: . h = 3: . h = 4 …

Приписывая последовательно этим рациональным числам номера 1, 2, 3… мы пронумеруем все рациональные числа. Следовательно, множество рациональных чисел счетно согласно определению.

НЕСЧЕТНОЕ множество - понятие теории множеств; бесконечное множество, мощность которого больше, чем мощность счетного множества. Напр., множество всех действительных чисел - несчетное множество.

30. Континуум-проблема и континуум-гипотеза.

Гипотезу континуума можно сформулировать так: мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счетного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет.

При этом любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным.

Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.

Континуум – не самая большая из бесконечных мощностей. Так, мощность множества всех подмножеств точек числовой оси больше, чем мощность самого множества всех точек оси. Она обозначается 2^c и называется гиперконтинуумом.

Гипотеза континуума, как оказалось, не зависит от выбранной аксиоматики теории множеств.