- •15 Кафедра математического анализа
- •Глава 4. Элементы теории поля
- •§1. Скалярные и векторные поля. Поверхность уровня. Векторные линии
- •§2. Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона
- •§3. Поток векторного поля
- •§4. Циркуляция векторного поля
- •§5. Потенциальные и соленоидальные поля
- •Задания для самостоятельного решения:
- •5. Вычислить поток векторного поля f через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали, если:
- •6. Найти циркуляцию плоского векторного поля f вдоль кривой l (направление обхода – положительное):
- •7. Найти циркуляцию векторного поля f вдоль замкнутого контура l:
- •8. Являются ли следующие векторные поля потенциальными?
- •9. Показать, что следующие векторные поля потенциальны, и найти их потенциалы:
- •10. Являются ли следующие векторные поля соленоидальными?
15 Кафедра математического анализа
Методические указания по математике для самостоятельной работы студентов специальности «Геология»
Глава 4. Элементы теории поля
§1. Скалярные и векторные поля. Поверхность уровня. Векторные линии
Скалярное поле
Функция U(r) , где r = i j k – радиус-вектор произвольной точки пространства , называется скалярным полем.
Наряду с определенным выше скалярным полем рассматривают плоское скалярное поле, т. е. функцию U(r) , где r = i j – радиус-вектор произвольной точки плоскости.
Поверхностью уровня скалярного поля U(r) называется множество точек пространства , удовлетворяющих уравнению , где с – произвольная постоянная.
Аналогично определяется понятие линии уровня плоского скалярного поля U(r) .
Векторное поле
Вектор-функция F(r) i j k называется векторным полем.
Вектор-функция F(r) i j называется плоским векторным полем.
Линии r , касательные к которым в каждой точке их совпадают с направлением векторного поля F , называются векторными линиями этого поля.
Аналогичным образом определяется понятие векторных линий плоского векторного поля.
Градиент
Градиентом скалярного поля называется векторное поле grad i j k i j k.
Градиент скалярного поля в каждой точке перпендикулярен поверхностям уровня этого скалярного поля. Кроме того, градиент скалярного поля показывает направление наибольшего роста функции .
Величиной градиента называют скалярное поле
|grad |
Пример. Найти величину и направление градиента скалярного поля в точке .
Находим частные производные функции :
, , .
Таким образом, grad i j k. Подставляя в последнее равенство координаты точки А, получим:
grad i – j .
Величина градиента при этом будет
|grad | .
Контрольные вопросы:
Дайте определение скалярного поля.
Что называется поверхностью уровня скалярного поля ?
Дайте определение векторного поля.
Что называют векторными линиями поля F ?
Дайте определение градиента скалярного поля .
§2. Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона
Дивергенция и ротор
Дивергенцией векторного поля F называется скалярное поле, определяемое равенством
div F .
Ротором векторного поля F называется векторное поле, определяемое следующим образом:
rot F .
Для удобства запоминания принята формальная запись:
rot F ,
где «умножение» символов дифференцирования на одну из функций понимается как взятие соответствующей частной производной зтой функции.
Физический смысл ротора: если вектор-функция v является полем скоростей твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, то с точностью до числового множителя ротор векторного поля v представляет собой мгновенную угловую скорость w этого вращения: w rot v.
Ротор векторного поля называют иногда вихрем векторного поля.
Оператор Гамильтона
Оператор Гамильтона или оператор (набла) определяется формулой
i j k.
Применение этого оператора к скалярным и векторным полям с формальной точки зрения соответствует операции «умножения» на вектор с координатами :
i j k,
F ,
F .
Нетрудно заметить, что стоящие в правых частях последних трех равенств выражения суть градиент, дивергенция и ротор полей:
grad , F div F, F rot F.
Пример. Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля
F i j k.
По определению, div F . В нашем случае , , . Отсюда находим , , . Следовательно,
div F .
Вычислим ротор поля F:
rot F i j k i j
k .
Контрольные вопросы:
Дайте определение дивергенции векторного поля F .
Дайте определение ротора векторного поля F .
Какой формулой определяется оператор Гамильтона?