7.2. Понятие о логарифмических частотных характеристиках

В настоящие время для использования методов анализа и син­теза систем автоматического управления широкое применение нахо­дят частотные характеристики. Необходимость сокращения трудоем­кости построения частотных характеристик привела к использованию логарифмических частотных характеристик.

По передаточной функции находится комплексный коэф­фициент передачи Wja):

W (jw) = W (p),p=jw,

W(jw)= A(w)e^jj(w).

Для построения логарифмической амлитудно-частотной харак­теристики (ЛАЧХ) вместо комплексного коэффициента передачи Wja) следует записать

L(w) = 20lg | W( jw) = 20lg A(w).

Величина Ь(ю) выражается в децибелах (1 децибел = 0,1 бела). Бел является логарифмической единицей, соответствующей десяти­кратному увеличению мощности. 1 бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела - в 100 раз, 3 бела - в 1000 раз и т. д. Если бы характеристика А(ю) равнялась отношению мощностей, то для вы­ражения ее в белах следовало бы вычислить ее десятичный логарифм, а для выражения в децибелах - умножить этот логарифм на десять. Так как А(ю) является отношением не мощностей, а выходной и входной координат (например, линейных или угловых перемещений, скоростей, напряжений, токов), то увеличение этого отношения в 10 раз соответствует увеличению отношения мощностей в 100 раз, что соответствует 2 белам или 20 дБ. Поэтому в правой части уравнения имеется множитель 20.

В связи с необходимостью логарифмирования модуля частот­ной передаточной функции ЛАЧХ можно строить только для случаев, в которых передаточная функция безразмерна. Однако обычно ЛАЧХ условно строится и для тех случаев, в которых передаточная функция имеет какую-либо размерность. При этом некоторая величина, соот­ветствующая размерности передаточной функции, принимается за исходную единицу и под значением А (ю) подразумевается отношение модуля частотной передаточной функции к исходной единице. Это относится и к угловой частоте ю, имеющей размерность с^-1 и подле­жащей логарифмированию при построении логарифмических харак­теристик.

ЛАЧХ L(W) = 20 lg A(w) строится в прямоугольной системе ко­ординат (рис. 7). По оси абсцисс откладывается угловая частота ю в логарифмическом масштабе, т. е. наносятся отметки, соответствую­щие lg«, но надписываются возле этих отметок непосредственно зна­чения частоты ю (а не lg«) в с^-1. Для получения такой шкалы можно пользоваться специальной полулогарифмической бумагой. Практиче­ски удобнее брать обычную миллиметровую бумагу и наносить лога­рифмический масштаб по оси абсцисс. По оси ординат наносится равномерная шкала децибел. Ось абсцисс проходит через точку нуля децибел, что соответствует величине А(ю) = 1, так как lg1=0. Точка ю=0 лежит на оси частот слева в бесконечности, так как lg0=-<». По­этому ось ординат проводится через любую точку на оси частот с тем расчетом, чтобы справа от этой оси поместилась та часть ЛАЧХ, осо­бенности которой требуется проследить.

Вместе с ЛАЧХ на одном и том же чертеже может строиться логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ) в полуло­гарифмическом масштабе, которая отличается от обычной фазо- частотной характеристики лишь тем, что частота на оси абсцисс от­кладывается в логарифмическом масштабе. Для этого на оси ординат наносится фаза в градусах (рис. 7). При этом практически удобно по­ложительную фазу откладывать вниз от нуля шкалы, а отрицатель­ную - вверх. Ось частот для ЛАЧХ и ЛФЧХ обычно используется общая.

Ь(ш), дБ ф (ш), град

																		1
									V с	1							1

-40-

Рис. 7. Сетка для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ

Иногда по оси абсцисс указывается не сама частота, а ее деся­тичный логарифм (рис. 8). Изменение десятичного логарифма на еди­ницу соответствует одной декаде, т. е. изменению частоты в 10 раз.

	<	декаде					—»								ш, с ^1
1	2 4 6 8 10 20 40 60 100
0															■lg« 1
	)

Рис. 8. Варианты шкал на оси частот

В отличие от обычных частотных характеристик, ЛАЧХ и ЛФЧХ в большинстве случаев могут быть построены практически без

вычислений. Это является главным достоинством логарифмических характеристик. Наиболее просто строятся ЛАЧХ, особенно если час­тотная передаточная функция может быть представлена в виде произ­ведения типовых сомножителей. В этом случае ЛАЧХ получается суммированием ординат ЛАЧХ, соответствующих отдельным со­множителям. Практически обычно не требуется и такого суммирова­ния, и ЛАЧХ строится приближенно в виде так называемой асимпто­тической ЛАЧХ, имеющей вид ломаной прямой, отрезки которой имеют наклоны, кратные величине 20 дБ/дек.