7.4. Построение желаемой лачх

Желаемая ЛАЧХ разомкнутой системы строится исходя из тре­бований, предъявляемых к системе, и по основным показателям каче­ства: требуемый коэффициент усиления (определяемый желаемой точностью ее работы); желаемый порядок астатизма системы (число интегрирующих звеньев или кратность нулевого корня в характери­стическом уравнении разомкнутой системы), допустимое время пере­ходного процесса t_p, требуемый запас устойчивости по фазе (опреде­ляется величиной перерегулирования а).

Желаемую ЛАЧХ (рис. 11) условно разделяют на 3 части: низ­кочастотную, среднечастотную и высокочастотную.

1. Низкочастотная часть ЛАЧХ. Определяется требуемой точностью работы системы, а, следовательно, коэффициентом усиле­ния системы в разомкнутом состоянии и порядком ее астатизма. Оп­ределяет работу системы в самой конечной фазе переходного процес­са и в установившимся режиме.

Рис. 11. Желаемая ЛАЧХ разомкнутой системы.

Рис. 12. Низкочастотная часть ЛАЧХ.

L_HM

ft!, <u=l

Частотный интервал низкочас­тотной части лежит от минимальных начальных частот до частоты первого сопряжения аппроксимируемой харак­теристики со среднечастотной частью. Низкочастотная характеристика прово­дится через точку а с ординатой 20lg^ при а = 1 (иногда сопрягающая часто­та оказывается меньше, чем а = 1 и тогда низкочастотная часть переходит в среднечастотную раньше: точка b окажется выше точки a, но про­должение низкочастотной части все равно пройдет через точку а (см. рис. 12). Кончается низкочастотная часть в точке d. Наклон низкочас­тотного отрезка ЛАЧХ определяется величиной -20v дБ/дек, где V— порядок астатизма системы. Если коэффициент усиления разомкну­той системы удовлетворяет показателям качества, то низкочастотная часть желаемой ЛАЧХ совпадает с низкочастотной частью ЛАЧХ не­изменяемой части системы. В нашем случае коэффициент усиления достаточен (это проверялось ранее) и Ь_нмиз(а)= Ь_жниз(а) (см. рис. 11);

причем V = 1 и наклон низкочастотной части желаемой ЛАЧХ -20 дБ/дек.

2. Среднечастотная часть ЛАЧХ. Является наиболее сущест­венной частью, т.к. ее вид определяет в основном качество переход­ного процесса.

Рядом исследователей установлено, что при частоте среза (с_ср - точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс) наклон характеристики должен быть -20 дБ/дек, а частота среза определяется временем пере­ходного процесса t_p, и допустимым перерегулированием а. Частота среза и время переходного процесса t_p связаны между собой следую­щим соотношением: со_ср » Ср/ t_p, где коэффициент С выбирается в

зависимости от допустимой величины перерегулирования. Так, при допустимой величине перерегулирования а = (15-30)% выбирается С = 1,3-2,5. Частоты сопряжения центрального отрезка среднечастот- ной части ЛАЧХ, пересекающего ось абсцисс при частоте ю_ср с пре­дыдущими и последующими отрезками, могут быть выбраны в соот­ветствии с обозначениями, приведенными на рис. 11, исходя из сле­дующих соотношений: с_з » (2 - 4)с_ср и с₂ = с²ср / со₃

По другому способу рекомендуется определять конечные упо­мянутого центрального отрезка, так, чтобы при ординате L₁ (рис. 11) запас по фазе был не меньше 40°, что устанавливается по ЛФЧХ, а ордината определяющая запас по модулю в децибелах, выбирается в зависимости от допустимого перерегулирования а. Наконец, величи­ну центрального участка можно определять также по частотным ин­тервалам, так чтобы интервалы с₂ - со_ср и с_ср - с₃, были равны (0,5 - 0,9) декады; здесь следует брать интервал тем больше, чем более вы­сокое качество требуется от переходного процесса.

Возможно, что при выборе сообразно с каждой из трех указан­ных рекомендаций значения частот с₂ и с₃, будут получатся различ­ными. В этом случае следует иметь в виду, что чем больше величина интервалов с₂ - с_ср и с_ср - с₃, тем быстрее затухает переходный про­цесс. Поэтому окончательный выбор этих интервалов должен быть согласован с требованиями к переходному процессу.

Сопряжение центрального отрезка среднечастотной части ЛАЧХ с низкочастотной частью производится прямой с наклоном — (40-60) дБ/дек.

3. Высокочастотная часть ЛАЧХ. В основном определяет не­значительные быстро затухающие составляющие переходного про­цесса. Обычно при оценке работы системы этими составляющими можно пренебречь. Т.к. высокочастотная часть сравнительно мало влияет на вид переходного процесса, то чтобы не усложнять коррек­тирующее устройство, она выбирается по возможности аналогичной ЛАЧХ исходной (некорректируемой) части системы. Обычно ее на­клон составляет — (40 ^ 60) дБ/дек.

Построим теперь желаемую ЛАЧХ для рассматриваемой систе­мы по заданным в рассматриваемым в примере значениям.

Даны в общем виде (числовые значения не нужны). Числовыми значениями воспользуемся, когда будем строить ЛАЧХ в масштабе.

Для построения Ь_ж(ю) надо знать частоту среза а_ср, координату определяющую положение точек b и с, коэффициент усиления разомкнутой нескорректированной системы и наличие астатизма у системы. Низкочастотная часть проводится через точку а с ординатой 20lgk, где k - коэффициент нескорректированной разомкнутой системы.

Характеристика Ь_ж в низкочастотной части совпадает с ЛАЧХ L_H(a) для разомкнутой нескорректированной системы.

Самым важным участком среднечастотной части L_x(rn) является прямолинейный участок b - с, который имеет наклон минус 20 дБ/дек через точку оси абсцисс с координатой, соответствующей частоте среза а_ср.

Значение а_ср определяют по номограмме (рис. 13, а).

По заданному значению перерегулирования а по кривой o(P_max) номограммы определяют соответствующие значения P_max. Затем по значению P_max по кривой t^(P_max) определяют значение Сп/а_ср. Это значение приравнивают заданному значению времени регулирования t_p и из полученного равенства определяют частоту среза (о_С = Cpt . Это значение и наносят на характеристику (см. рис. 11).

Рис. 13. Номограммы для определения параметров среднечастотной части желаемой ЛАЧХ

Ордината L_M, при заданном значении перерегулирования а оп­ределяется по номограммам (рис. 13, б). Тем самым устанавливают положение точек b и с на желаемой характеристике. Затем точку b соединяют с низкочастотной частью Ь_н(ш) отрезком b - d имеющим наклон минус 40 дБ/дек. Это выполняют, предполагая что высокочастотная часть нескорректированной системы не влияет на переходный процесс и поэтому может оставаться без изменений. Если же для соединения с высокочастотной частью L_H(w) при­

ходится существенно сокращать участок с наклоном минус 20

дБ/дек, то такого соединения делать не следует. В этом случае желаемую характеристику от точки с продолжают вправо с наклоном минус 40 или минус 60 дБ/дек. Такая ситуация возникает, когда от системы, содержащей элементы со значительными постоянными времени, требуют сравнительно малого времени регулирования.

Построим теперь желаемую ЛАЧХ в масштабе (рис. 10).

Заданы показатели качества регулирования - длительность регулирования t_p=1,1 с и перерегулирование а=25%. Тогда по рис. 13, а при а=25% определим P_max=1,17, t_p=2,8n/^_cp. По выражению 2,8n/w_cp=t_p=1,1 рассчитаем частоту среза w_cp=8 с^-1. Значение Lm=18 дБ определим по кривым (см. рис. 13) при полученном a_max=1,17. Частота среза т_ср и значение L_M определим ориентировочно. В данном случае значения ю_ср и ю_дв близки. Для упрощения дальнейших расчетов положим ю_ср=ю_дв=8,7 с^-1, т.е. проведем среднечастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ через точку ю_дв с наклоном минус

20 дБ/дек, до пересечения с горизонтальными прямыми L_M выше и ниже оси абсцисс (см. точки b и с). Среднечастотная асимптота желаемой ЛАЧХ сопрягается с низкочастотной, проходящей с наклоном минус 40дБ/дек в точке b. Высокочастотная асимптота в точке с совпадает с асимптотой неизменяемой ЛАЧХ, проходящей с наклоном минус 60 дБ/дек.

Рис. 14. Корректирующее звено

7.5. ПОСТРОЕНИЕ ЛАЧХ КОРРЕКТИРУЮЩЕГО ЗВЕНА, ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕГО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ И ПАРАМЕТРОВ

После построения ЛАЧХ неизменяемой части системы L_H(m) и желаемой ЛАЧХ L_x(a) ЛАЧХ корректирующего устройства L_K(rn) определяется на основе выражения L_K (W) = L_x (W) - L_H (W) (рис. 10).

ЛАЧХ корректирующей цепи L_K(rn) расположена ниже оси абсцисс сплошной линией в виде пятиугольника. Для упрощения схемы корректирующего звена продолжим асимптоту характеристики корректирующего звена, проведенной с наклоном плюс 20 дБ/дек до пересечения с осью абсцисс. Поскольку исправлению подвергается высокочастотная часть ЛАЧХ корректирующего звена L_K(a), то это не приводит к отрицательным результатам. Окончательный вывод о возможности упрощения может быть сделан лишь при окончательном расчете показателей качества переходного процесса. ЛАЧХ корректирующего звена L_K(rn) примет вид трапеции HFMK.

Электрическая схема корректирующего звена приведена на рис.

14.

Для выбранного

корректирующего звена

передаточная функция

=^pр+¹¹

^{К (Р)} (Г_ар₊1)(ГьР+1) Значения т, х_г, T_a, T_b следует определять по ЛАЧХ корректирующего звена (см. рис. 10).

Для определения

параметров элементов корректирующего звена R₁, R₂, С₁, С₂ можно использовать независимые уравнения:

Т1 = R1C1; Т2 = R2C2; Ta +Tb =RC+( R1+R2) C2.

По ЛАЧХ корректирующего звена (рис. 10) можно определить

^Та^{, Т}Ь ^Th ^т2.

1/т1 = 1 c¹; Т1 = 1 с; 1/т₂ = 8,7 c¹; т₂ = 0,115 с. 1/Т_а = 0,0633 c¹; Та = 15,8 с; 1Т_Ь = 139 c¹; T_b = 0,0072 с.

Поскольку независимых уравнения три, а неизвестных параметров четыре, то один из параметров надо задавать, а остальные определять из уравнений.

Задавшись параметром R₁ = 100 кОм, можно определить С₁=10 мкФ, R₂ = 0,78 кОм, С₂ = 140 мкФ.

Таким образом, как видно из рассмотренного примера, при син­тезе конкретных корректирующих цепей может оказаться, что число составленных уравнений на единицу меньше неизвестных параметров элементов. В этом случае приходится задаваться одним из параметров произвольно, а остальные определить в соответствии с составленны­ми уравнениями. Дать рекомендацию, каким именно параметром сле­дует задаваться и какую величину для него нужно взять не представ­ляется возможным. При синтезе корректирующих цепей в этом слу­чае может понадобиться сделать несколько пробных расчетов и вы­брать практически приемлемый вариант, чтобы получить практиче­ски реализуемые значения остальных параметров (в данном случае R₂, С1 и С2).

Возможен случай, когда L_K(rn) в некоторой своей части лежит выше оси абсцисс. У пассивных схем из R и С, L(a) во всем диапазо­не частот не бывает положительной. Поэтому нужная L_K(rn) может быть получена соединением пассивной части схемы и усилителя.

Следует также отметить: при построении желаемой ЛАЧХ предполагалось, что неизменяемая часть системы с усилителем имеет необходимый коэффициент усиления (необходимый передаточный коэффициент). После выбора корректирующего звена, передаточный коэффициент разомкнутой системы, как правило, изменяется. И те­перь нужно окончательно определить необходимое значение переда­точного коэффициента.