- •Комплексные числа и элементарные функции комплексного переменного
- •Комплексные числа
- •1. Понятие комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа.
- •2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
- •Произведение комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах
- •Частное комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах
- •Извлечение корня целой положительной степени из комплексного числа
- •Элементарные функции комплексного переменного.
- •1. Показательная функция комплексного переменного.
- •2. Логарифмическая функция комплексного переменного.
- •3. Тригонометрические функции комплексного переменного.
- •4. Обратные тригонометрические функции комплексного переменного.
- •5. Гиперболические функции комплексного переменного.
- •6. Обратные гиперболические функции.
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Комплексные числа и элементарные функции комнлексного переменного
2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
Положение точки , изображающей комплексное число на плоскости, может быть задано с помощью полярных координат (рис. 12), где - длина вектора а - угол между положительным Рис. 12 направлением оси и вектором . О чевидно, модуль комплексного числа .
Определение. Число называют аргументом комплексного числа и обозначают , т.е. = .
Аргумент числа не определен.
Определение. Аргумент комплексного числа , удовлетворяющий условиям
называют главным значением аргумента числа и обозначают его ( ).
Замечание. Если , то , если ; , если и ;
, если и .
Из треугольника имеем , , , откуда
Определение.
, (3)
где и называют тригонометрической формой комплексного числа .
Из формулы (3) и периодичности тригонометрических функций действительного аргумента следует, что число может быть записано в форме .
Модуль комплексного числа определяется однозначно, а аргумент этого числа - с точностью до слагаемого .
Пример 14. Найти модуль и главное значение аргумента чисел:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д ) ;
е) .
Решение.
а) , ;
б) ,
;
в) , ;
Рис.13 г) , ;
д) , . .
Так как и , то ;
е) , , . Так как и , то .
Пример 15. Определить тип линий, заданных уравнениями:
а) ; б) .
Решение. а) определяет множество точек, отстоящих от начала координат на расстоянии единиц, т.е. есть уравнение окружности радиуса с центром в начале координат.
б) Уравнению удовлетворяют точки, расположенные на биссектрисе первого координатного угла.●
Комплексное число обозначают через , = (формула Эйлера). (4)
Пользуясь формулой Эйлера, комплексное число можно записать в форме .
Определение.
, (5)
где и называют показательной формой комплексного числа .
Из формул (1), (3) и (5) имеем
(комплексное число в алгебраической, тригонометрической и показательной формах), где и .
Очевидно, .
Из формулы Эйлера следует
Очевидно, все точки комплексной плоскости, показательная форма которых имеет вид , имеют модуль, равный , т. е. лежат на окружности радиуса с центром в начале координат.
Из равенств и следуют формулы
, (6)
Произведение комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах
Рассмотрим произведение двух комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах.
Пусть и . Тогда . Из последнего имеем .
С ледовательно, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а главное значение аргумента произведения с точностью до равно сумме аргументов сомножителей. Рис. 14 Из предыдущего следует, что при геометрическом умножении комплексного числа на вектор нужно повернуть вокруг начала координат на угол и растянуть полученный вектор в раз (рис. 14).
Очевидно, что для сопряженных комплексных чисел имеют место следующие формулы:
; ; .
Утверждение. Если , то
(7)
► Воспользуемся методом полной математической индукции. Доказано, что .
Предположим, что (при это равенство справедливо).
Тогда .
Следовательно, формула (7) справедлива при . ◄
Следствие. Если , то
. (8)
Формула (8) есть формула для возведения в целую положительную степень комплексного числа, заданного в тригонометрической и показательных формах.
Из формулы (8) следует
,
(с точностью до ).
При из формулы (8) получим формулу Муавра
.
Из формулы Муавра можно легко выразить и через степени и .
Например,
, откуда, сравнивая действительные и мнимые части левой и правой частей равенства, имеем
,
Пример 16. Упростить выражение .
Решение.
.
Так как , то . .●
Пример 17. Найти , если .
Решение.
,
откуда , или .
, . . ●