Частное комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах

Для комплексных чисел и частное может быть записано в следующем виде , откуда следует, что модуль частного двух комплексных чисел равен отношению модулей делимого и делителя, а главное значение аргумента частного с точностью до равно разности аргументов делимого и делителя.

(9)

Пример 18. Представить в показательной форме числа

а) ; б) .

Решение. а) . Для этого числа . , поэтому .

б) Найдем модуль и аргумент числа , предварительно представив его в алгебраической форме. . - алгебраическая форма данного числа и , , .

Так как действительная и мнимая части числа отрицательны, то главное значение аргумента равно , т.е. и

.

Замечание. При сложении и вычитании комплексных чисел, как правило, целесообразнее использовать алгебраическую форму этих чисел. При умножении, возведении в степень и извлечении корня более рациональным может оказаться тригонометрическая или показательная форма.

Извлечение корня целой положительной степени из комплексного числа

Извлечь корень целой положительной степени из числа значит найти такое число , -ая степень которого равна .

Пусть . Тогда и , откуда , и , откуда

, (10)

т. е. , .

(10) - формула для извлечения корня целой положительной степени из комплексного числа .

Пример 19 Представить следующие выражения в алгебраической форме: а) ; б) .

Решение. а) , , откуда и .

б)

При и

при .●

Пример 20. Решить уравнение и изобразить корни этого уравнения на комплексной плоскости.

Решение.

Подставляя последовательно , , и , получим четыре различных корня исходного уравнения:

, ,

и

(рис. 15).●

Рис. 15

ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОго ПЕРЕМЕННОго.

Понятие функции комплексного переменного вводится по аналогии с понятием функции действительной переменной.

Определение. Величина называется функцией комплексного переменного в области , если задан закон, по которому каждому значению , ставится в соответствие одно или несколько значений .

Это соответствие обозначается в виде .

Определение. Переменную называют независимой переменной или аргументом, а - зависимой переменной или функцией.

Пусть . Тогда из имеем и .

Определение. Если каждому значению поставлено в соответствие одно и только одно значение , то функцию называют однозначной, а если несколько значений – то многозначной.

Определение. Множество значений , где , называется областью значений функции и обозначается это множество через .

Геометрически можно рассматривать , заданную на , как отображение области плоскости (рис. 16) в некоторую область плоскости .

Рис. 16

Определение. Если , то точка называется образом точки при отображении , а точка называется прообразом точки .

З амечание. Иногда удобно совмещать плоскости и . Тогда функция «перемещает» точку в точку (рис. 17).

Рис. 17 Например, при отображении образом точки является точка

, т. е

функция «перемещает» точку в точку . Очевидно, .

Пример 21 Найти образ точки , если отображение задано формулой .

Решение. .●

Пример 22. Найти уравнения линий в плоскости , на которые с помощью функции отображаются прямые и .

Решение. , , откуда

, . (11) Подставляя в уравнения (11), получим , , откуда . Это , уравнение

параболы, симметричной относительно оси .

Подставляя в уравнения (11), получим , , т.е. еще одну параболу (рис. 18).●

Рис. 18 Пример 23. Найти образ окружности при отображении .

Решение 1. Так как , то , т. е. образом окружности при указанном отображении является окружность .

Решение 2. , откуда .

Так как , то , , и , т.е. образом окружности при отображении является окружность .●