- •Комплексные числа и элементарные функции комплексного переменного
- •Комплексные числа
- •1. Понятие комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа.
- •2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
- •Произведение комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах
- •Частное комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах
- •Извлечение корня целой положительной степени из комплексного числа
- •Элементарные функции комплексного переменного.
- •1. Показательная функция комплексного переменного.
- •2. Логарифмическая функция комплексного переменного.
- •3. Тригонометрические функции комплексного переменного.
- •4. Обратные тригонометрические функции комплексного переменного.
- •5. Гиперболические функции комплексного переменного.
- •6. Обратные гиперболические функции.
- •Задачи для самостоятельной работы
- •Комплексные числа и элементарные функции комнлексного переменного
4. Обратные тригонометрические функции комплексного переменного.
Обратные тригонометрические функции определяются как обратные к соответствующим тригонометрическим функциям.
Если , то называется арксинусом числа и обозначается
Если , то называется арккосинусом числа и обозначается
Если , то называется арктангенсом числа и обозначается
Если , то называется арккотангенсом числа и обозначается
Справедливы следующие формулы
(18)
(19)
(20)
(21)
Докажем справедливость формулы (18).
Если , то , , откуда или .
Из последнего уравнения имеем или , откуда и . В силу многозначности логарифма функция является многозначной функцией.
Докажем следующее утверждение.
Если действительное число и , то и является действительным числом.
►Так как , то также действительное число, и
. Из последнего следует, что является в рассматриваемом случае действительным числом.◄
Во всех остальных случаях не может быть действительным числом.
Докажем справедливость формулы (20).
Если , то , откуда имеем , , ,
и
Формулы (19) и (21) доказываются аналогично.
Пример 33. Найти
Решение. и (рис.19).
Рис. 19
Пример 34. Найти
Решение. По формуле (19) ●
Пример 35. Решить уравнение .
Решение.
Ответ: ,
5. Гиперболические функции комплексного переменного.
Гиперболические функции , , , определяются равенствами , , , (22)
Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические. Справедливы следующие формулы:
. (23)
►Действительно, .◄
Остальные формулы доказываются аналогично.
Из периодичности тригонометрических функций и предыдущих формул следует периодичность и гиперболических функций, причём, периоды функций и равны , а периоды функций и равны .
Пользуясь определениями тригонометрических и гиперболических функций, нетрудно показать справедливость следующих равенств, которые могут иногда существенно облегчить вычисление.
, ,
, ,
, .
Пример 36. Вычислить .
Решение. Первый способ. . .
Второй способ. .
Пример 37. Доказать, что .
Решение. Учитывая формулы (23), имеем .
Пример 38. Вычислить .
Решение. Воспользуемся результатами примера 37.
●
6. Обратные гиперболические функции.
Обратные гиперболические функции , , , определяются как обратные к функциям , , , . Обратные гиперболические функции многозначны.
Из следует или , откуда . Решая это уравнение, имеем , или
. (24)
Аналогично можно доказать, что
, (25)
, (26)
. (27)
Задачи для самостоятельной работы
1. Решить уравнения:
а) ; б) ;
в) ;
г) .
2. Вычислить , если .
3. При каких и справедливо равенство , если , ?
4. Найти действительные и мнимые части следующих выражений: а) ; б) .
5. Найти множество точек, удовлетворяющих уравнению
.
6. Изобразить множество точек, удовлетворяющих уравнению .
7. Найти множество точек, удовлетворяющих двойному неравенству .
8. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству .
9. Изобразить на комплексной плоскости точки, удовлетворяющие неравенствам:
а) ; б) ;
в) .
10. Записать с помощью неравенств и изобразить на комплексной плоскости следующие открытые множества точек комплексной плоскости:
а) полоса, состоящая из точек, отстоящих от действительной оси на расстояние, меньшее двух единиц;
б) внешность круга с центром в точке и радиусом 2;
в) внутренность прямого угла, лежащего в правой полуплоскости, с вершиной в точке , симметричного относительно действительной оси.
11. Найти множество точек, равноудаленных от точки и прямой .
12. Изобразить на комплексной плоскости линию, заданную уравнением , .
13. Доказать тождество . Используя доказанное тождество, изобразить на комплексной плоскости линию, заданную уравнением
( ).
14. Изобразить на комплексной плоскости все значения выражения .
15. Найти , если .
16. Решить уравнение .
Корни уравнения представить в показательной форме.
17. Решить уравнение .
Корни уравнения представить в алгебраической форме.
18. Доказать справедливость равенства .
19. Вычислить значение функции
а) в точке ;
б) в точке ;
в) в точке ;
г) в точке ;
д) в точке ;
е) в точке ;
ж) в точке ;
з) в точке .
20. Найти:
а) ; б) ; в) .
21. Доказать справедливость равенств:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) .
22. Найти:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
23. Найти образ точки при отображении .
24. Найти образ в комплексной плоскости прямой , заданной в комплексной плоскости при отображении .
25. Найти образы координатных осей и при отображении .
Ответы
1. а) или ; б) , где ;
в) ; г) , .
2. . 3. , .
4. а) , : б) ; .
5. Точки окружности .
6. Множество точек параболы .
7. Внутренние точки кольца с центром в точке , внутренним радиусом , внешним радиусом .
Рис. 20 Рис. 21
8. Точки, лежащие внутри области, ограниченной окружностью радиуса 1 с центром в точке (1,0) (рис. 20).
9 а) рис.21; б) рис. 22; в) рис.23.
Рис.22 Рис.23
1 0. а) (рис.24); б) (рис.25); в) (рис.26).
Рис.24
Рис.25 Рис.26
11. Множество точек параболы .
12. Гипербола .
13. Правая ветвь гиперболы .
14. Рис. 27. , , , ,
, . 15. 64. 16. , .
7. , . 19. а) , б) ; в) ; Рис. 27 г) д) ;е) ;
ж) ; з) .
20. а) ; б) ; в) .
22. а) ; б) ; в) ; г); ; д) . 23. .
24. . 25.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА........................................................3
1. Понятие комплексного числа. Алгебраическая
форма комплексного числа.............................................................3
2. Тригонометрическая и показательная формы
комплексного числа.......................................................................15
Произведение комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах...................................................................18
Частное комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах...................................................................22
Извлечение корня целой положительной степени из комплексного числа.......................................................................23
ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО...........................................................................25
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО...........................................................................28
1. Показательная функция комплексного переменного.............29
2. Логарифмическая функция комплексного переменного.......29
3. Тригонометрические функции комплексного переменного...................................................................................31
4. Обратные тригонометрические функции комплексного переменного...................................................................................34
5. Гиперболические функции комплексного переменного.......37
6. Обратные гиперболические функции......................................39
Задачи для самостоятельной работы...........................................40
Ответы.............................................................................................42
Учебное издание