Тема 5. Средние величины

Повторить определения: средняя величина, виды средних величин (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя кубическая); правило мажорантности средних; многомерная средняя величина

Вопросы для подготовки к практическому занятию

1. Что такое средняя величина? В чем сущность средней величины?

2. Верно ли утверждение: «Средняя величина дает характеристику общего объема варьирующего признака»?

3. Что такое средняя степенная величина?

4. Перечислите свойства средней арифметической величины.

5. Какая из форм средней величины используется в случае расчета средней величины признака по несгруппированным данным? По сгруппированным данным? Приведите примеры расчета.

6. Какая из форм средней величины используется в случае расчета средней величины признака для дискретного вариационного ряда? Приведите пример расчета.

7. Какая из форм средней величины используется в случае расчета средней величины признака для интервального вариационного ряда? Приведите пример расчета.

8. В каких случаях используется средняя арифметическая величина? Средняя гармоническая величина? Средняя геометрическая величина? Средняя квадратическая величина? Средняя кубическая величина? Приведите примеры расчета.

9. Возможно ли равенство между взвешенными и невзвешенными средними? Обоснуйте ответ. Приведите пример.

10. Если веса осредняемого признака выражены в промилле, то чему будет равен знаменатель при расчете средней арифметической величины?

11. Если веса осредняемого признака выражены в процентах, то чему будет равен знаменатель при расчете средней арифметической величины?

12. Изменится ли средняя величина, если все веса уменьшить в 5 раз? Увеличить в 2 раза? Обоснуйте ответ.

13.Как рассчитывается средняя величина для относительного показателя? Приведите пример.

14. Как следует рассчитывать среднюю величину для сгруппированных данных по признаку стоимость основных производственных фондов промышленного предприятия?

15. Как следует рассчитывать среднюю по двум предприятиям выработку на 1 работающего?

16. Как изменится значение арифметической взвешенной средней величины, если все веса увеличатся в одно и то же количество раз? Обоснуйте ответ.

17. Какая из форм средней величины используется при расчете среднегодового темпа роста объема произведенной продукции, если, например, известно, что в 2008 г. по сравнению с 2001 г. объем произведенной продукции увеличился на 12,4 %?

18. Имеются данные о распределении рабочих предприятия по заработной плате:

Заработная плата, ден.ед.	До 5	5 – 10	10 – 15	Более 15
Количество рабочих, чел.	2	6	15	7

Какой вид средней величины необходимо применить для осреднения заработной платы рабочих? Назовите признак и вес. Сделайте расчет.

19. Имеются следующие данные:

Вид продукции	Доля экспортной продукции, %	Стоимость экспортной продукции, тыс. руб.
Сталь	30	50300
Прокат	40	74600

Какой вид средней величины необходимо применить для расчета средней доли экспортной продукции? Назовите признак и вес. Сделайте расчет.

20. Что следует использовать в качестве весов при расчете средней по группе предприятий рентабельности продукции, если расчет производится на основе значений рентабельности по каждому предприятию?

21. Что следует использовать в качестве весов при расчете средней по группе предприятий заработной платы (руб./чел.), если известны значения средней заработной платы по каждому предприятию?

22. Имеются следующие данные.

Факультет	Доля отличников среди студентов 5 курса, %	Количество студентов на факультете, чел.
«Экономика и управление»	12	5815
«Экономика и право»	10	5347

Возможно ли по представленным исходным данным определить среднюю долю отличников среди студентов 5 курса (в  %)? Обоснуйте ответ.

23. Покажите на примере действие правила мажорантности средних величин.

24. Как рассчитать средние затраты на 1 рубль товарной продукции по четырем предприятиям, если известны значения затрат на 1 рубль товарной продукции по каждому предприятию?

25. Верно ли утверждение: «Если данные о заработной плате рабочих представлены интервальным рядом распределения, то за основу расчета среднего заработка следует принимать средние значения заработной платы в интервале»?

26. Средняя величина не рассчитывается когда признак:

а) принимает целочисленные значения;

б) принимает дробные значения;

в) не варьирует;

г) альтернативный;

д) атрибутивный.

27. Установлено, что средняя величина изучаемого признака должна вычисляться по формуле средней гармонической простой величины. Значения признака следующие: 10, 15, 20. Вычислите среднюю гармоническую простую величину.

28. Количественный признак принимает всего два значения: 23 и 27. Частость первого из них составляет 30%. Найдите среднюю величину признака в совокупности.

29. Регион включает в себя 2 области: А и Б. Среднее значение признака в области А равно «5,5»; в области Б – «7,2». При расчетах средняя величина признака по региону получилась равной «5,2». Возможно ли такое? Обоснуйте ответ.

30. Два одинаковых по численности региона составляют единое административно-территориальную образование. Определите плотность населения административно-территориального образования, если плотность населения первого региона 120 чел./км², а второго – 180 чел./км²?

31. Как изменится средняя цена 1т материалов, если увеличится доля поставки материалов с низкими ценами?

32. В каких случаях рассчитывается многомерная средняя величина? Приведите пример.

33. В чем отличие степенных средних от многомерных средних величин?

34. Известно, что числовые значения 10,10; 12,25 и 9,80 – это средние по некоторой совокупности данных. Какое из указанных значений является средней арифметической, какое – средней гармонической и какое – средней геометрической? Обоснуйте ответ.

Задачи

1. Вычислите средние значения приведенных показателей в целом по трем предприятиям. При расчете средней величины для каждого показателя назовите форму средней величины, признак и вес.

Пред- прия- тие	Численность рабочих, тыс.чел.	Процент рабочих, имеющих высокую квалификацию	Средний размер одной бригады, чел.	Месячная выработка продукции в среднем на одного рабочего, тыс.ден.ед.	Месячная выра-ботка в среднем одним рабочим, имеющим высокую квалификацию, тыс.ден.ед.
А	1	2	3	4	5
№ 1	4,1	80	82	2,5	3,0
№ 2	1,9	44	48	3,8	4,3
№ 3	3,0	61	33	4,2	4,5

2. Вычислите средние значения приведенных показателей в целом по трем предприятиям. При расчете средней величины для каждого показателя назовите форму средней величины, признак и вес.

Пред- прия- тие	Выработка продукции за год в среднем на 1 рабочего, тыс.ден. ед.	Средне-годовая численность рабочих, тыс.чел.	Доля брака в произведенной продукции, %	Процент выполнения плана по выпуску продукции, %	Доля молодежи среди рабочих, %
А	1	2	3	4	5
1	17,8	0,7	0,1	90	28
2	33,4	1,2	0,8	101	36
3	28,5	1,6	0,2	97	29

3. Имеются следующие данные о национальном составе населения города.

Нацио-нальность	Число лиц, тыс. чел. 1998 г.	Доля лиц данной националь-ности во всем населении города, %	Доля лиц, считающих родным язык своей националь-ности, %	Среди лиц, считающих родным язык своей национальности, доля лиц свободно владеющих русским языком, %	Численность лиц данной национальности в 2008 г. в % к их численности в 1998 г.
А	1	2	3	4	5
Украинцы	151	3,0	26,1	34,1	152
Евреи	107	2,1	5,1	3,2	66
Белорусы	94	1,9	32,2	29,9	140
Татары	44	0,9	52,0	49,3	133

Вычислите средние значения показателей по четырем наиболее многочисленным национальностям (кроме русских), проживающих в данном городе. При расчете средней величины для каждого показателя назовите форму средней величины, признак и вес.

Можно ли применить при расчете средней величины численности лиц данной национальности в 2008 г. в  % к их численности в 1998 г. среднюю геометрическую величину? Обоснуйте ответ.

4. Вычислите средние значения приведенных показателей в целом по трем предприятиям. При расчете средней величины для каждого показателя назовите форму средней величины, признак и вес.

Предпри-ятия	Человеко-дней потерь рабочего времени за год	Среди них процент прогулов	Человеко-дней потерь рабочего времени в среднем на 1 рабочего	Количество часов, отработанных сверхурочно в среднем 1 рабочим, привлекав- шимся к этим работам	Удельный вес рабо- чих, при- влекавших- ся к сверх- урочным работам, %
А	1	2	3	4	5
«Альфа»	1328	20	2,1	1040	6,6
«Гамма»	366	28	0,4	685	1,7
«Сигма»	96	43	0,3	800	2,2

5. Вычислите средние значения показателей в среднем по трем школам. При расчете средней величины для каждого показателя назовите форму средней величины, признак и вес.

Школы	Общая численность учащихся, чел.	Доля обучающихся в выпускных 10 – 11-х классах, %	Процент отличников среди учащихся выпускных классов	Число учащихся в среднем в одном классе, чел.	Процент классов, в которых занятия проходят в первую смену
А	1	2	3	4	5
№ 152	800	17	8	31	50
№ 15	900	20	4	36	80
№ 89	750	9	2	26	69

6. Вычислите средние значения показателей по трем группам вузов в целом. При расчете средней величины для каждого показателя назовите форму средней величины, признак и вес.

Группы вузов	Общее число преподавателей, тыс.чел.	Число препода-вателей в среднем на 1 вуз	Среди пре-подавателей процент кандидатов и докторов наук	Средний стаж работы кандидатов и докторов наук, лет	Среднее число студентов в 1 вузе, чел.
Технические	4,1	360	74	12,0	3000
Педагогические	1,2	200	68	8,4	2800
Медицинские	2,0	390	89	15,0	3500

7. Вычислите средние значения приведенных показателей в целом по городу и селу. При расчете средней величины для каждого показателя назовите форму средней величины, признак и вес.

Место располо- жения	Всего книг и журналов, млн. экз.	Число книг и журналов в среднем на 1 библиотеку, тыс. экз.	Число читателей на 1 библиотеку, тыс.чел.	Число книг и журналов в среднем на 1 читателя, шт.	Число выданных книг и журналов в среднем на 1 читателя за год, шт.
Город	1266	34	…	15	21
Село	888	9	…	16	20

8. Вычислите средние значения приведенных показателей в целом по трем предприятиям.

Предприятие	Себестоимость единицы продукции, ден.ед.	Затраты на производство всей продукции, тыс. ден.ед.	Число рабочих, чел.	Доля брака, %
1	1,30	130	400	1,0
2	1,20	144	500	1,5
3	1,10	220	600	0,5

Рассчитайте также среднюю выработку продукции на одного рабочего.

При расчете средней величины для каждого показателя назовите форму средней величины, признак и вес.

9. Рассчитайте среднюю зарплату работника по двум предприятиям по представленным исходным данным.

Определите вид и вес средней величины.

Предприятие	Минимальная зарплата на предприятии, руб./мес.	Максимальная зарплата на предприятии, руб./мес.	Месячный фонд заработной платы, руб.	Численность работающих, чел.
1	6 000	12 000	90 000	10
2	8 000	20 000	134 000	16

10. Имеются данные о заработной плате работников в отчетном и базисном периодах на трех предприятиях одной отрасли. Определите среднюю месячную заработную плату в отчетном и базисном периодах.

Предприятие	Базисный период		Отчетный период
	средняя месячная заработная плата, руб.	удельный вес предприятия в общей численности работников, %	фонд заработной платы, тыс. руб.	средняя месячная заработная плата, руб.
№ 1	10 950	21,3	1185,8	12 100
№ 2	12 400	48,5	3324,0	13 850
№ 3	11 200	30,2	2194,8	12 400

11. Известны следующие данные по трем сельскохозяйственным предприятиям за отчетный период (2008 г).

Предприятие	Посевная площадь, га	Валовой сбор, ц	Затраты на производство всей пшеницы, ден. ед.	Валовой сбор в 2008 г. в % к валовому сбору 2007 г.
1	1000	22 000	39 600	113
2	1200	20 800	35 360	126
3	1100	34 600	51 900	94

Определите по трем предприятиям за отчетный период: 1) среднюю посевную площадь; 2) среднюю урожайность пшеницы (ц/га); 3) среднюю себестоимость одной тонны пшеницы (ден. ед./т); 4) средний валовой сбор; 5) средний валовой сбор в 2008 г. в  % к валовому сбору 2007 г.

При расчете средней величины для каждого показателя назовите форму средней величины, признак и вес.

11. Имеются следующие данные по фермерским хозяйствам области.

Группы хозяйств по себестоимости 1 т озимой пшеницы, руб.	Число хозяйств	Валовой сбор в среднем на 1 хозяйство, т
До 3000	8	3800
3000 – 3500	11	3100
3500 – 4000	14	2200

Определите среднюю себестоимость 1т озимой пшеницы в целом по фермерским хозяйствам области. Ответ представить в руб. с точностью до сотых. Назовите форму средней величины, признак и вес.

13. Имеются следующие данные.

Факультет	Доля студентов, получивших оценки «4» и «5» в общей численности студентов факультета	Доля студентов факультета в общей численности студентов ВУЗа, %
1	0,75	20
2	0,66	30
3	0,40	8
4	0,53	10

Возможно ли по представленным данным рассчитать среднюю по четырем факультетам долю студентов, получивших оценки «4» и «5» по итогам сессии в общей численности студентов ВУЗа? Если да, то определите форму средней величины, признак и вес.

14. Имеются следующие данные о рабочих предприятия за месяц.

Тарифный Разряд	Средняя выработка, руб./чел.	Средняя заработная плата, руб./чел.	Потери рабочего времени, чел.дней	Число рабочих, чел.
1	3000	12 000	30	10
2	4000	15 000	42	20
3	3500	16 000	41	30
4	4500	18 000	24	25
5	4500	20 000	13	15

Определите средние значения представленных показателей. При расчете средней величины для каждого показателя назовите форму средней величины, признак и вес.

15. Определите средний размер издержек обращения на 100 руб. товарооборота (с точностью до 1 руб.) и средний размер товарооборота в расчете на одно предприятие (с точностью до 1 млн руб.) по представленным данным.

Издержки обращения на 100 руб. товарооборота, руб.	Число предприятий	Товарооборот в среднем на одно предприятие, млн. руб.
11 – 14 14 – 17	12 18	143 168

16. В мастерской занято трое работников, имеющих 6-часовой рабочий день. Первый работник на изготовление одного изделия в среднем затрачивает 24 мин., второй – 30 мин., третий – 36 мин. Определите средние затраты времени на изготовление одного изделия в целом по мастерской. Ответ представить в минутах с точностью до сотых.

17. Рассчитайте среднюю заработную плату по каждой группе сотрудников и по всей совокупности (см. данные в теме 3, вопрос 19).

18. Имеются следующие данные об уровне медицинского обслуживания в городах.

№ города п.п.	Числен- ность населе- ния, тыс.чел.	Число врачей на 1000 чел., ‰	Числен- ность среднего медицин- ского пер- сонала на 1000 чел., ‰	Число полик- линик	Число боль- ниц	Число больничных коек на 1000 чел., ‰	Бюджетное финасирование больнич-ной койки, тыс.ден.ед. /год
А	1	2	3	4	5	6	7
1	2544	8,5	14,8	199	91	13,8	2,1
2	663	10,4	19,0	87	31	21,1	2,0
3	4948	8,7	14,6	492	140	11,9	2,4
4	1543	7,1	13,7	117	38	13,9	2,3
5	8815	10,6	17,5	961	233	13,9	2,6
6	900	8,2	16,1	71	35	16,2	2,0
7	2124	8,2	15,4	240	93	15,4	1,9
8	1119	6,2	10,4	78	50	15,3	2,3

Выполните группировку городов по уровню обеспечения медицинскими услугами по многомерной средней, рассчитанной по показателям: а) обеспеченность врачами на 1000 чел.; б) обеспеченность средним медицинским персоналом на 1000 чел.; в) обеспеченность больничными койками на 1000 чел.; г) обеспеченность финансированием 1 больничной койки; д) обеспеченность поликлиниками на 1000 чел. Ответьте на следующие вопросы:

1) сколько слагаемых будет в числителе при расчете многомерной средней?

2) какие виды средних величин необходимо рассчитать для выполнения группировки по многомерной средней?

3) сколько значений многомерной средней необходимо рассчитать для выполнения группировки?