Задача № 2

Разделив первые 30 регионов (см. данные Задачи №1) на 2 группы по величине признака, соответствующего вашему варианту, проверьте правило сложения дисперсий.

По результатам расчетов сделать вывод.

Методика решения

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного порядка, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних , от общей средней :

,

где f — численность единиц в группе.

Внутригрупповая (частная) дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы х от средней арифметической этой группы , (групповой средней) и может быть исчислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия по формулам, соответственно:

;

.

На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе, т.е. на основании можно определить среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Согласно правилу сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

Ход расчета дисперсий: 1)определяются значения дисперсий по каждой группе (внутригрупповые дисперсии); 2) среднее значение дисперсии по двум группам; 3) общую дисперсию по правилу сложения. Для проверки результатов расчета следует рассчитать общую дисперсию, без учета деления регионов на группы.

Задача №3

По данным информационных сайтов, например, www.cbr.ru, www.gks.ru произведите статистический анализ какого-либо показателя за 24 периода времени (помесячно):

1. изобразите графически исходные данные и произведите визуальный анализ;

2. проверить исходный ряд динамики на наличие тренда тремя методами:

- методом укрупнения интервалов;

- методом аналитического выравнивания. Сделать прогноз на следующий период времени;

- методом скользящей средней (трехлетней - четные варианты, пятилетней- нечетные варианты).

По результатам расчетов сделать вывод.

Методика решения

Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя методами.

1. Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов).

2. Методом скользящей средней предполагает замену исходный ряда теоретическим, уровни которого рассчитываются по формуле скользящей средней. Скользящая средняя относится к подвижным динамическим средним, вычисляемым по ряду при последовательном перемещении на один интервал. При этом происходит укрупнение интервалов. Число уровней, по которым укрупняется интервал, называется диапазоном укрупнения, интервалом или периодом сглаживания α. Период сглаживания может быть нечетным (α =3; 5; и т.д.) и четным (α =2; 4; и т.д.).

При нечетном периоде сглаживания полученное среднее значение уровня закрепляется за серединой расчетного интервала.

При α =3:

,

При α =5:

При четном периоде сглаживания возникает проблема центрирования, для решения которой необходимо осуществить сдвиг сглаженных уровней.

3. Аналитическое выравнивание. Для определения основной тенденции развития, необходимо использовать методы аналитического выравнивания, которые по­зволяют моделировать динамические процессы, строить прогноз, интерполировать отдельные значения анализируемого процесса.

В общем виде модель зависимости значений показателя от фактора времени (t) имеет формулу у_{t =} f (t)

Наиболее часто в анализе динамики используется линейная функция

у_t = а + b t,

y_t -теоретические, выровненные уровни ряда;

t - время;

а и b - параметры уравнения, которые находят с использовани­ем метода наименьших квадратов, решая следующую систему уравнений:

Необходимость в решении такой системы отпадает, если проиндексировать значения t таким образом, чтобы их сумма была равна нулю , тогда

Если количество уровней в ряду нечетное, то временные ряды дат (t) обозначаются -2 -1 0 1 2…

Если четное, то -5 -3 -1 1 3 5 …

Подставляя в уравнение тренда с рассчитанными параметрами ин­дексированные (условные) значения фактора времени (t), можно легко вычислить теоретические (выровненные) значения динамиче­ского ряда и произвести прогноз этих значений на предстоящие го­ды.

Для линейной зависимости параметр a обычно интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; b — сила связи, т. е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу.

Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством критерия Фишера (F). Фактический уровень (F_факт) сравнивается с теоретическим (табличным) значением:

,

.

где k — число параметров функции, описывающей тенденцию; n — число уровней ряда;

F_факт сравнивается с F_теор при v₁=(k-1), v₂=(n-k) степенях свободы и уровне значимости (обычно ). Если F_факт>F_теор, то уравнение регрессии значимо, т. е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции.