2.1.4. Конденсатор

а б в

Рис. 2.5. Схемы замещения конденсатора

Конденсатор является элементом электрической цепи, имеющим две проводящие обкладки, между которыми находится слой диэлектрика (рис. 2.5,а). Если к зажимам конденсатора (рис. 2.5,а) подключить источник синусоидального напряжения , то на его обкладках возникнет изменяющийся во времени электрический заряд q(t), т. е. через конденсатор будет протекать электрический ток

. (2.3)

В (2.4) - ёмкость конденсатора, которая определяет зависимость изменения величины заряда на обкладках конденсатора от изменения напряжения, приложенного к его обкладкам, имеет размерность Фарада (Ф); - реактивное ёмкостное сопротивление, имеет размерность Ом.

Из соотношения (2.4) видно, что ток через конденсатор i(t) опережает напряжение u_C(t) на угол (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Гармонический ток и напряжение в конденсаторе

Основной особенностью конденсатора является его способность запасать энергию электрического поля . Кроме того, в конденсаторе имеют место тепловые потери энергии в диэлектрике и обкладках, а также происходит запас энергии в магнитном поле. На рис. 2.5,б показана низкочастотная схема замещения конденсатора, состоящая из параллельного соединения ёмкости C и активного сопротивления с проводимостью - G_П, учитывающей потери энергии в диэлектрике. Если этими потерями можно пренебречь, то конденсатор будет представлять собой идеальную ёмкость (рис. 2.5,в).

Из (2.3) следует, что при заданном токе напряжение можно найти по соотношению

. (2.4)

Если для установившегося синусоидального режима подставить ток в (2.4), то напряжение на ёмкости примет вид

. (2.5)

2.1.5. Символический метод расчета цепей синусоидального тока.

Символическим методом расчета установившихся режимов в линейных цепях синусоидального тока называют метод использующий представление синусоидальных функций комплексными числами. Такой переход осуществляется с помощью соотношения Эйлера:

A = а + j b = Aе^j = A cos  + j A sin ,

где a = A cos  =Re{Aе^j}; и b = A sin  = Im{Aе^j}. (2.6)

Соотношение (2.6) позволяет поставить в соответствие синусоидальной функции комплексное число, так для тока, напряжения и ЭДС запишем соответствие между синусоидальными функциями и комплексными числами:

i (t) = I_m sin (ω t+_i) ↔ I = e^ji = I e^ji, = I  _i;

u(t) = U_m sin (ω t+_u) ↔ U = e^ju = U e^ju = U_u; (2.7)

e(t) = E_m sin (ω t+_e) ↔ E = e^je = E e^je = E _e.

где j= мнимая единица, I, U и E комплексы действующих значений тока, напряжения и ЭДС.

Такое представление позволяет при определении токов и напряжений в цепи перейти от решения систем уравнений c синусоидальными функциями времени к расчёту систем алгебраических линейных уравнений с комплексными коэффициентами. Систему уравнений можно получить как по законам Кирхгофа в комплексном виде, так и любым методом расчёта цепей: по закону Ома, методом контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора или эквивалентными преобразованиями цепи. При составлении системы уравнений используются схемы замещения цепи в комплексном виде.

• Законы Кирхгофа в комплексной форме

1. Алгебраическая сумма комплексных значений токов в проводниках, соединенных в узел, равна нулю

. (2.8)

2. Алгебраическая сумма комплексных значений напряжений на всех сопротивлениях замкнутого контура равна алгебраической сумме комплексных значений ЭДС всех источников того же контура_:

. (2.9)

• Векторные диаграммы

Для иллюстрации взаимосвязи между токами и напряжениями в конкретной схеме строят векторные диаграммы. Различают три вида векторных диаграмм:

Таблица 2.1.

Исходный элемент	Схема замещения	Векторная диаграмма
И сточники ЭДС
Резистор
Ёмкость XС = 1/C - ёмкостное сопротивление (Ом)
Индуктивность XL = L - индуктивное сопротивление (Ом)

Векторная диаграмма токов представляет собой сумму векторов токов на комплексной плоскости, соответствующую первому закону Кирхгофа, записанному для определённого узла цепи.

Векторная диаграмма напряжений представляет собой сумму векторов напряжений на комплексной плоскости, построенную в соответствии со вторым законом Кирхгофа.

Топографическая диаграмма является диаграммой комплексных потенциалов цепи на комплексной плоскости, причём один из потенциалов принимается равным нулю, а остальные потенциалы определяются через падения напряжения на элементах цепи.

При построении диаграмм должны быть заданы масштабы напряжений, потенциалов и токов, тогда длина векторов напряжений и токов будет пропорциональна их действующим значениям, а угол поворота векторов относительно вещественной оси равен их начальной фазе. Положительные значения углов отсчитываются против направления вращения часовой стрелки, а отрицательных - по часовой стрелке.

Элементы линейной цепи гармонического тока, их схемы замещения и векторные диаграммы приведены в табл. 1 и 2.

• Закон Ома в комплексной форме, треугольники сопротивлений и проводимостей

Закон Ома в комплексной форме:

, (2.10)

где X – суммарное реактивное сопротивление ветви (рис. 2.7а); - комплексное сопротивление ветви, Z модуль и j - её угол и - суммарная комплексная проводимость ветвей, где Y – модуль, y - угол, g и b –активная и реактивная проводимости (рис. 2.7б).

Q

S

P

y

а б в

Рис. 2.7. треугольники: а - сопротивлений; б - проводимостей; в - мощностей

• Мощность в цепи синусоидального тока

Пусть на вход цепи содержащей активные и реактивные элементы подаётся синусоидальное напряжение u(t) = U_m sin (ω t+ φ_u) и протекает ток i(t)= I_m sin(ω t + φ_i). В таких цепях различают следующие мощности:

1. Мгновенная мощность - p(t) = u(t) i(t). Представляет скорость, с которой поступает энергия в электрическую цепь и определится соотношением:

p(t) = u(t) i(t) = U I cos φ - U I cos (2 ω t - φ) = Р+р(2 ω t),

где φ = φ_u. - φ_i разность фаз между напряжением и током,

U = U_m /√2 и I = I_m /√2 -действующие значения напряжения и тока.

2. Активная мощность – P = U I cos φ. =U I cos φ – среднее значение мгновенной мощности за период. Размерность – Ватт [Вт]..

3. Реактивная мощность – Q = U I sin φ. Определяет мощность, с которой циркулирует электрическая энергия между реактивными элементами цепи (индуктивностями и ёмкостями) и источниками энергии. Размерность – Вольт-Ампер реактивный [ВAp].

4. Полная мощность - S = U I. Размерность - Вольт-Ампер [ВA].

5. Комплексная мощность - .

= = = UI cos φ + j UI sin φ = Р + j Q, (2.11)

где = - сопряженный комплекс тока =

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности и равно косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током:

cos φ = P/S = Р / U I.

Активная, реактивная и полная мощности связаны соотношениями:

S² = Р² + Q²; S =√ P² + Q²; Q/P = tg φ.

Мощности S, P и Q образуют треугольник мощностей (рис. 2.7.в).

• Баланс мощности

Из закона сохранения энергии [2] следует, что в любой цепи соблюдается баланс как мгновенных -p(t), так и комплексных мощностей - .

_ист = –

_ист = +

Рис. 2.8. Определение знака у составляющих мощность источников

Сумма всех отдаваемых (мгновенных-p(t) или комплексных - _ист) мощностей источников равна сумме всех получаемых потребителями (соответственно мгновенных или комплексных - _потр) мощностей.

_ист = _потр; или P_ист + j Q_ист = P_потр + j Q_потр; (2.12)

или отдельно баланс для активных и реактивных мощностей:

P_ист = P_потр и Q_ист = Q_потр;

Рассмотрим определение мощностей источников и потребителей:

_ист = ∑(± )+∑(± ) и _потр = ∑( ) = ∑(Z_i ).(2.13)

Знак «+» или «–» в выражениях для мощности источников зависит от соотношений направлений напряжения и тока на источнике рис. 2.8.