2.1.7 Примеры расчёта символическим методом

1. RL - цепь

R

I

U_R

E

U_L



jX_L

а б

Рис. 2.12. Исходная RL – цепь и её схема замещения

Для цепи рис. 2.12,а заданы:

E_m, f, _e, R и L,

=2πf;

e(t) = E_m sin ( t + _e) B.

Определить ток i(t) и напряжения u_L(t) и u_R(t).

1. Определим параметры схемы замещения рис. 2.12.б:

X_L = L. - реактивное индуктивное сопротивление;

E = E_m / √2 - действующее значение ЭДС;

E = E e^je = E _e - комплекс действующего значения - ЭДС. (2.18)

2. Записшем второй закон Кирхгофа в комплексном виде:

E = U_R + U_L или

E = I R + I j X_L = I (R + j X_L) = I Z,

где Z = R + jX_L. = e^jz = Z e^jz - комплексное сопротивление;

Z = - модуль комплексного сопротивления; (2.19)

_Z = arctg - угол комплексного сопротивления. (2.20)

3. Найдём по закону Ома:

- комплекс действующего значения тока

I = = I e^ji,

где I = - действующее значение тока; (2.21)

_i = _e - _Z - фаза тока; (2.22)

- комплекс действующего значения напряжения на резисторе

U_R =I R = I R e^ji = U_R _I,;

где U_R = I R – действующее напряжение на резисторе;

- комплекс действующего значения напряжения на индуктивности:

U_L = I j X_L = = I X_L e^j(i+90) = U_L(_i + 90^о), (2.23)

где U_L = I X_L – действующее напряжение на индуктивности.

4. Запишем мгновенные значения тока и напряжений:

i(t) = I √2 sin ( t + _i). – ток в цепи;

u_R(t) = I R√2 sin ( t + _i) – напряжение на резисторе;

U_L(t) = I X_L √2 sin ( t + _i+ 90^о) – напряжение на индуктивности.

5. Построим векторные диаграммы токов и напряжений рис. 2.13

Рис. 2.13. Векторные диаграммы токов и напряжений RL цепи

6. Определим мощность в цепи.

Мощность, отдаваемая источником

Комплексная мощность:

_ист = E = E e^je I e^-ji = E I(_e– _i) = E I cos(_e– _i)+ j E I sin(_e– _i)

_ист = P_ист + j Q_ист

Активная мощность –- P_ист = E I cos(_e– _i), [Вт]. (2.24)

Реактивная мощность – Q_ист = E I sin(_e– _i), [ВАр]. (2.25)

Полная мощность – S_ист = . [ВА] (2.26).

Рис. 2.14. Схема замещения RL цепи для расчёта частотных характеристик

Мощность потребителя - катушки индуктивности:

Комплексная мощность: _пот = I² R + j I² X_L = P_пот + j Q_пот

Активная мощность –- P_пот = I² R = U₁ I₁ cos φ [Вт]. (2.27)

Реактивная мощность – Q_пот = I² X_L= U₁ I₁ sin φ_, [ВАр], (2.28)

где =_i-_e (рис 2.13).

Баланс мощности: _ист = _пот;

7. Построим частотные характеристики цепи.

Представим RL цепь в виде четырёхполюсника рис. 2.14

Комплексное входное сопротивление цепи

.

Модуль входное сопротивление Z_BX(ω) = _. (2.29)

Угол входного сопротивления _BX(ω) = arctg . (2. 30)

Комплексная передаточная функция по напряжению будет иметь вид

.

АЧХ и ФЧХ определятся соотношениями:

;

. (2.31)

Для построения ЛАЧХ определяется величина

. (2.32)

2. RC - цепь

а б

Рис. 2.15. Исходная RС – цепь и её схема замещения

Для цепи рис. 2.15а заданы:

E_m, f, _e, R и С;

=2πf;

e(t) = E_m sin ( t + _e) B.

Определить ток i(t), напряжения u_C(t) и u_R(t).

1. Определяем параметры схемы замещения рис. 2.15б:

X_С= 1/С - реактивное ёмкостное сопротивление; (2.33)

E = E_m / √2 - действующее значение ЭДС;

E = E e^je = E _e - комплекс действующего значения - ЭДС. (2.34)

2. Записываем второй закон Кирхгофа в комплексном виде:

E = U_R + U_С или

E = I R – I j X_С = I (R – jX_С) = I Z;

где Z = R + jX_С. = Z e^jz - комплексное сопротивление.

3. Найдём по закону Ома:

- комплекс действующего значения тока

I = , (2.35)

где I = - действующее значение тока;

_i = _e + arctg - фаза тока;

Z = - модуль комплексного сопротивления; (2.36)

_Z = – arctg - угол комплексного сопротивления; (2.37)

- комплекс действующего значения напряжения на резисторе:

U_R =I R = I R e^ji = U_R _i,, (2.38)

где U_R = I R – действующее напряжение на резисторе:

- комплекс действующего значения напряжения на ёмкости

U_С = – I j X_С = = I X_С e^j(i-90) = U_C (_i – 90^о), (2.39)

где U_C = I X_С – действующее напряжение на ёмкости.

Рис. 2.16. Векторные диаграммы токов и напряжений RC цепи

4. Запишем мгновенные значения тока и напряжений:

i(t) = I √2 sin ( t + _i). – ток в цепи;

u_R(t) = I R√2 sin ( t + _i) – напряжение на резисторе.

u_C(t) = I X_С √2 sin ( t + _i– 90^о) – напряжение на ёмкости.

5. Построим векторные диаграммы токов и напряжений рис. 2.16

6. Определим мощность в цепи.

Мощность, отдаваемая источником

- комплексная мощность:

_ист = E = E e^je I e^-ji = E I(_e– _i) = E I cos(_e– _i)+ j E I sin(_e– _i);

_ист = P + j Q;

- активная мощность –- P_ист = E I cos(_e– _i), [Вт]; (2.40)

- реактивная мощность – Q_ист = E I sin(_e– _i), [ВАр]; (2.41)

- полная мощность – S_ист = , [ВА]. (2.42)

Мощность потребителя - катушки индуктивности:

- комплексная мощность: _пот = I² R – j I² X_С = P_потр + j Q_потр;

- активная мощность – P_потр = I² R = U₁ I₁ cos φ, [Вт]; (2.43)

- реактивная мощность – Q_потр = – I² X_С= U₁ I₁ sin φ_, [ВАр]. (2.44)

Баланс мощности: _ист = _пот.

7. Построим частотные характеристики цепи.

Представим RC цепь в виде четырёхполюсника рис. 2.17

Рис. 2.17. Схема замещения RC цепи для расчёта частотных характеристик

Комплексное входное сопротивление цепи

. (2.45)

Модуль входное сопротивление . (2.46)

Угол входного сопротивления . (2.47)

Комплексная передаточная функция по напряжению будет иметь вид:

. (2.48)

АЧХ и ФЧХ определятся соотношениями:

. (2.49)

Для построения ЛАЧХ определяется величина

. (2.50)