Приложение к Разделу 2

1. Дана схема ((pÙq)Úr)®s. Известно также, что p имеет логическое значение «истинно», q – «ложно», r – «ложно», s - «истинно». Каково логическое значение данной схемы?

Образец:

((pÙq)Úr)®s

И Л Л И

1 2 3

Используя логическое значение каждого из союзов, определяем логическое значение конъюнкции, оно будет ложным (1). Логическое значение слабой дизъюнкции будет также ложным (2). При ложном значении основания импликации и истинном значении следствия схема ((pÙq)Úr)®s принимает логическое значение «истинно» (3).

2. Записать данное высказывание в символической форме (на языке логики высказываний) и с помощью построения таблицы истинности определить, соответствует ли оно логическому закону:

(А) Преступником может быть назван тот, и только тот, чья вина доказана судом, следовательно, если чья-либо вина доказана судом, он может быть назван преступником, и, если кто-либо назван преступником, то вина его доказана судом.

Составим логическую форму данного рассуждения. Его составляют следующие элементы: р – простое высказывание (т.к. неделимо на более элементарные высказывания) – человек называется преступником; q ‑ простое высказывание – его вина доказана судом.

Первая часть рассуждения представлена схемой ‑ p q – символическая форма преступником может быть назван тот, и только тот, чья вина доказана судом – эквиваленция. Другая часть представлена схемой ‑ q  p если чья-либо вина доказана судом (q), то он может быть назван преступником (р) – импликация. Следующая часть принимает вид ‑ p  q если кто-либо назван преступником (р), то вина его доказана судом (q) – импликация. Между собой соответствующие высказывания связаны союзом «и», что соответствует конъюнкции - (q p) Ù (p  q). Целиком логическая форма рассуждения принимает вид:

(p  q)((q  p) Ù (p  q))

А С В₁ В В₂

р	q	(p  q)		(q p)		Ù	(p  q)		
И	И	И		И		И	И		И
И	Л	Л		И		Л	Л		И
Л	И	Л		Л		Л	И		И
Л	Л	И		И		И	И		И
		А	В1		В			В2	С

С помощью таблицы истинности можно установить, является ли логическая форма законом логики (т.е. является ли и рассуждение по этой форме построенное правильным) или нет. Так как логический закон ‑ это логическая форма, которая преобразуется в истинное высказывание при любой замене переменных на простые высказывания. Так как в таблице истинности основной результат (С) представлен только истинными по значению высказываниями, значит, рассуждение является правильным, соответствующая ему схема является логическим законом.

(В) Если неправда, что суббота и воскресенье – мои выходные дни, то и в субботу, и воскресенье я работаю».

Данное рассуждение можно записать на языке логики высказываний с помощью двух переменных. Обозначим высказывание Суббота для меня выходной день как p, воскресенье для меня выходной день как q,

Суббота и воскресенье – мои выходные дни в символической форме представляется так: p  q. Языковое выражение неправда соответствует логическому союзу «отрицание» – неверно, что. В общем виде логическая форма Неправда, что суббота и воскресенье – мои выходные дни принимает вид «неверно, что р и q» - (p  q).

В субботу, и воскресенье я работаю можно представить как:

Суббота для меня невыходной день (неверно, что р) - p

Воскресенье для меня невыходной день q. Между собой они взаимосвязаны союзом “и”, которому соответствует “конъюнкция”. Эта часть рассуждения принимает вид  p  q.

Тогда данное рассуждение может быть записано как: «Если неправда, что p и q, то не- p и не- q». Поскольку первая часть и вторая часть рассуждения связаны союзом «если, то» /импликация/, общий вид схемы следующий:pqpq)

Используя значения логических союзов конъюнкция, импликация, отрицание, построим таблицу для данной логической схемы.

р	q	рq	pq	pqpq
И	И	Л И	Л Л Л	И
И	Л	И Л	Л Л И	Л
Л	И	И Л	И Л Л	Л
Л	Л	И Л	И И И	И

Поскольку не при всех значениях переменных схема принимает только истинные значения, можно сказать, что логическая схема рассуждения не соответствует логическому закону, рассуждение соответствует выполнимой схеме.

3. Используя возможности логики высказываний, упростите следующее выражение: «Поскольку математические предложения относятся к действительности, они не являются бесспорными, а поскольку они являются бесспорными, они не относятся к действительности» (А.Эйнштейн).

Данное выражение состоит из двух простых высказываний: математические предложения относятся к действительности (р), математические предложения являются бесспорными (q). Логическая форма: (р  q)  (q  р) может быть преобразована в выражение –

рq.

р	q	(р q)  (q  р).	рq
И	И	Л Л Л	Л
И	Л	И И И	И
Л	И	И И И	И
Л	Л	И И И	И