- •5. Зубчатые передачи
- •5.1. Общие положения
- •5.2. Передаточное отношение
- •5.3 Основные геометрические параметры зубчатого колеса цилиндрической передачи
- •5.4 Основная теорема зацепления
- •5.5 Эвольвента и ее свойства
- •5.6. Построение картины зацепления колес эвольвентой цилиндрической передачи.
- •5.7. Коэффициент перекрытия
- •5.8. Способы нарезания зубчатых колес
- •5.9. Явление подрезания зубьев.
- •5.10. Геометрические параметры коррегированных зубчатых колес
- •6. Сложные зубчатые механизмы
- •6.1. Общие сведения о сложных зубчатых механизмах
- •Передачи с неподвижными осями колес
- •6.3. Планетарные передачи.
- •6.3.1. Вычисление передаточного отношения планетарной передачи
- •6.3.2. Геометрический синтез планетарных передач
- •6.4. Дифференциальные механизмы.
- •6.5. Пространственные зубчатые передачи
5.4 Основная теорема зацепления
Вывод теоремы и ее формулировка определяют условие, которому должны отвечать боковые профили зубьев, находящихся в зацеплении друг с другом.
Рассмотрим картину касания двух боковых профилей зубьев. Пусть эти профили будут очерчены какими-то кривыми (рис. 5.6), касающимися друг друга в точке М.
Рис. 5.6 Картина зацепления двух соприкасающихся боковых профилей.
Прямая n-n является общей нормалью к этим кривым. Представим вращение профилей зубьев вокруг осей О1 и О2 с угловыми скоростями ω1 и ω2. Тогда векторы окружных скоростей и точек M1 и M2, принадлежащих этим профилям, будут направлены перпендикулярно радиусам О1M и O2M, а их величины будут равны:
,
.
Спроектируем эти скорости на нормаль n-n и получим векторы и
Очевидно, что для соблюдения нормальной работы зацепления необходимо обеспечить равенство этих векторов:
В противном случае будет или «убегание» левого профиля (если ) или «набегание» правого на левый ( ), что в принципе невозможно.
Рассмотрим подобие треугольников:
.
Из свойства соотношения сторон составим уравнение пропорции ,
откуда
.
Из аналогичного подобия и получим
Так как , то
или . (5.1)
Н
Это есть запись основной теоремы зацепления, которая гласит:
нормаль n-n к профилям, образующим высшую кинематическую пару, проведенная к точке их касания, делит межосевые расстояния на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям, с которыми эти профили вращаются.
5.5 Эвольвента и ее свойства
Наибольшее распространение получили зубчатые колеса, у которых боковые профили зубьев очерчены кривой под названием эвольвента. Соответственно профиль такого зуба и само зацепление называется эвольвентным.
Эвольвента – кривая, которую очерчивает точка, принадлежащая прямой, перекатывающейся по окружности без скольжения.
Координаты любой точки эвольвенты определяются углом и длиной .
Исходя из свойств эвольвенты ; и т.д.
Рис. 5.7 Построение эвольвенты
Из соотношения углов и дуг окружности радиуса rb следует:
,
а из треугольника ОМ3/М3 следует:
,
отсюда
,
(5.2)
Функция угла (5.2) называется инволютой угла :
Для определения ее численного значения в учебниках и справочниках по расчету зубчатых передач имеются таблицы.
Координаты любой точки эвольвенты определяются углом и отрезком длиной .
Определим зависимость от других геометрических параметров:
,
отсюда
Окружность, по которой перекатывается прямая, называется основной, а ее радиус , где - угол наклона бокового профиля зуба инструментальной рейки, служащей для нарезания зубьев.
Свойства эвольвенты:
Все точки эвольвенты лежат вне основной окружности радиуса rb.
Нормаль к эвольвенте касательна к основной окружности.
Центры кривизны эвольвенты лежат на основной окружности.