1. Основные понятия теории моделирования биологических процессов и систем

1.1. Понятие моделирования

М оделирование – метод исследования сложных объектов и систем, основанный на том, что рассматриваемый объект (оригинал) заменяется моделью, с которой проводят ряд экспериментов с целью получения информации об оригинале (рис.1.1).

Моделирование является основным методом исследования сложных систем большой размерностью, позволяющим изучить влияние изменения параметров системы на показатели качества ее работы.

Модельный подход используется при прогнозировании состояния сложных биологических объектов, на которые осуществляется некоторое направленное терапевтическое воздействие.

Применение вычислительной техники позволяет использовать этот метод на всех стадиях создания и эксплуатации измерительных приборов, устройств и аппаратно-программных комплексов медицинского назначения.

Рассмотрение технических и биологических элементов в рамках единой биотехнической системы возможно только с применением современных информационных технологий.

Исследование, проектирование и эксплуатация медицинских приборов и аппаратов осуществляются с помощью автоматизированных систем трех видов: АСНИ, САПР и АСУТП.

АСНИ – автоматизированная система научных исследований (система автоматизированных научных исследований) – человеко-машинная система, предназначенная для автоматизации лабораторных и опытно-промышленных экспериментов. В АСНИ широко применяются два вида моделирования: математическое и физическое. Цель функционирования АСНИ – создание формализованных моделей (математических, имитационных) объектов (технических или биообъектов). Результаты, полученные в ходе функционирования АСНИ, служат исходными данными для работы САПР.

САПР – человеко-машинная система, предназначенная для решения задач технологического и конструкторского проектирования технических объектов, в качестве которых могут выступать приборы, аппаратно-программные комплексы и т.п. Она обеспечивает решение расчетных и оптимизационных задач анализа и синтеза структуры и параметров технических объектов, а также изготовления комплекта чертежно-проектной документации. Решение этих задач осуществляется на базе использования различных видов моделей (методов моделирования). Используется математическое и имитационное моделирование.

АСУТП – автоматизированная система управления технологическим процессом, предназначенная для контроля, стабилизации, управления технологическими параметрами с целью рационального (оптимального) управления всем процессом производства.

1.2. Виды моделирования

Принято различать три вида моделирования: физическое, математическое и имитационное.

1.2.1. Физическое моделирование

Физическое моделирование – это метод исследования на модели, которая имеет одинаковую с оригиналом физическую природу и воспроизводит весь комплекс свойств изучаемых явлений.

В технике физическое моделирование используется при проектировании различных объектов для определения характеристик как объекта в целом, так и отдельных его частей.

В основе этого вида моделирования лежит принцип ПОДОБИЯ.

Необходимыми условиями физического моделирования являются геометрическое подобие (подобие формы) и физическое подобие модели и объекта-оригинала. В сходственные моменты времени и в сходственных точках пространства значения переменных величин, характеризующих явления для объекта-оригинала, должны быть пропорциональны значениям тех же величин для модели. Наличие такой пропорциональности позволяет производить пересчёт экспериментальных результатов, получаемых для модели, на объект путём умножения каждой из определяемых величин на постоянный для всех величин данной размерности множитель — коэффициент подобия.

Физические величины связаны определёнными соотношениями, вытекающими из законов и уравнений физики. Если некоторые из них выбрать в качестве основных, то можно коэффициенты подобия для всех других производных величин выразить через коэффициенты подобия величин, принятых за основные.

Например, в механике основными величинами считают обычно длину l, время t и массу m. Скорость , а коэффициент подобия скоростей (индекс «О» у величин для объекта, «М» — для модели), можно выразить через коэффициенты подобия длин и времён в виде . На основании второго закона Ньютона сила F связана с ускорением w соотношением F = mw, тогда , где и т.д.

Такие связи показывают, что для данного физического явления некоторые безразмерные комбинации величин, характеризующих это явление, должны иметь для модели и натуры одно и то же значение. Эти безразмерные комбинации физических величин называются критериями подобия. Равенство всех критериев подобия для модели и натуры является необходимым условием физического моделирования. Однако добиться этого равенства можно не всегда, т. к. не всегда удаётся одновременно удовлетворить всем критериям подобия.

Чаще всего к физическому моделированию прибегают при исследовании различных механических, тепловых и электродинамических явлений. При этом число и вид критериев подобия для каждого моделируемого явления зависит от его природы и особенностей. Так, например, для задач динамики точки (или системы материальных точек), где все уравнения вытекают из второго закона Ньютона, критерием подобия является число Ньютона Ne = Ft²/ml и условие моделирования состоит в том, что

т.е. .

Для непрерывной среды при изучении её движения число критериев подобия возрастает, что значительно усложняет задачи физического моделирования.

Создаваемые для гидродинамического моделирования экспериментальные установки и сами модели должны обеспечивать равенство соответствующих критериев подобия у модели и объекта. Обычно это удаётся сделать в случаях, когда для течения в силу его особенностей сохраняется лишь один критерий подобия. Так, при физическом моделировании стационарного течения несжимаемой вязкой жидкости (газа) определяющим будет значение числа Рейнольдса (Re).

Когда при физическом моделировании необходимо обеспечить равенство нескольких критериев, возникают значительные трудности, часто непреодолимые, если только не делать модель тождественной объекту, что фактически означает переход от физического моделирования к натурным испытаниям. Поэтому на практике нередко прибегают к приближённому моделированию, при котором часть процессов, играющих второстепенную роль, или совсем не моделируется, или моделируется приближённо. Такое физическое моделирование не позволяет найти прямым пересчётом значения тех характеристик, которые не отвечают условиям подобия, и их определение требует соответствующих дополнительных исследований.

Например, при исследовании установившихся течений вязких сжимаемых газов необходимо обеспечить равенство числа Рейнольдса (Re) и числа Маха (М) безразмерному числу:

,

где — соответственно удельные теплоёмкости газа при постоянном давлении и постоянном объёме.

Это условие в общем случае обеспечить невозможно. Поэтому, как правило, обеспечивают для модели и объекта лишь равенство числа М, а влияние на определяемые параметры различий в числах Re и  исследуют отдельно или теоретически, или с помощью других экспериментов, меняя в них в достаточно широких пределах значения Re и .

При моделировании равновесия однородных упругих систем (конструкций), механические свойства которых определяются модулем упругости (модулем Юнга) Е и безразмерным коэффициентом Пуассона n, должны выполняться 3 условия подобия:

где g — ускорение силы тяжести ( = g — удельный вес материала).

В естественных условиях , и получить полное подобие при можно, лишь подобрав для модели специальный материал, у которого _м, Е_м и _м будут удовлетворять первым двум из приведенных условий, что практически обычно неосуществимо. В большинстве случаев модель изготовляется из того же материала, что и объект-оригинал. Тогда

,

и второе условие даёт

.

Когда весовые нагрузки существенны, для выполнения этого условия прибегают к так называемому центробежному моделированию, т. е. помещают модель в центробежную машину, где искусственно создаётся приближённо однородное силовое поле, позволяющее получить g_м > g_О и сделать l_м < l_О.

Одним из видов физического моделирования, применяемого к твёрдым деформируемым телам, является поляризационно-оптический метод исследования напряжений, основанный на свойстве ряда изотропных прозрачных материалов становиться под действием нагрузок (т. е. при деформации) анизотропными, что позволяет исследовать распределение напряжений в различных деталях с помощью их моделей из прозрачных материалов.

При физическом моделировании явлений в других непрерывных средах соответственно изменяются вид и число критериев подобия. Так, для пластичных и вязкопластичных сред в число этих критериев наряду с параметрами Фруда, Струхаля и модифицированным параметром Рейнольдса входят параметры Лагранжа, Стокса, Сен-Венана и т. д.

При изучении переноса тепла конвекцией определяющими критериями подобия являются число Нуссельта (Nu = l/), число Прандтля (Pr = /a), число Грасхофа (Gr = gl³T/²), а также число Рейнольдса Re. В перечисленных формулах использованы обозначения:  — коэффициент теплоотдачи, а — коэффициент температуропроводности,  — кинематический коэффициент вязкости,  — коэффициент объёмного расширения, Т — разность температур поверхности тела и среды.

Обычно целью физического моделирования является определение коэффициента теплоотдачи, входящего в критерий Nu. Для этого экспериментально на моделях устанавливают зависимость Nu от других критериев. В случае вынужденной конвекции (например, теплообмен при движении жидкости в трубе) становится несущественным критерий Gr, а в случае свободной конвекции (теплообмен между телом и покоящейся средой) — критерий Re.

Однако к значительным упрощениям процесса физического моделирования это не приводит, особенно из-за критерия Pr, являющегося физической константой среды, что при выполнении условия Pr_м = Pr_О практически исключает возможность использовать на модели среду, отличную от той, что на объекте.

Дополнительные трудности вносит и то, что физические характеристики среды зависят от её температуры. Поэтому в большинстве практически важных случаев выполнить все условия подобия не удаётся; приходится прибегать к приближённому моделированию. При этом отказываются от условия равенства критериев, мало влияющих на процесс, а другим условиям (например, подобие физических свойств сред, участвующих в теплообмене) удовлетворяют лишь в среднем.

На практике часто используют также метод локального теплового моделирования, идея которого заключается в том, что условия подобия процессов для модели и объекта-оригинала выполняются только в той области модели, где исследуется процесс теплообмена. Например, при исследовании теплоотдачи в системе однотипных тел (шаров, труб) в теплообмене на модели может участвовать лишь одно тело, на котором выполняют измерения, а остальные служат для обеспечения геометрического подобия модели и изучаемого объекта.

Особый вид физического моделирования основан на использовании специальных устройств, сочетающих физические модели с реальными приборами. К ним относятся стенды испытательные для испытания машин, наладки приборов и т. п., тренажеры для тренировки персонала, обучаемого управлению сложными системами или объектами, имитаторы, используемые для исследования различных процессов в условиях, отличных от обычных земных, например, при глубоком вакууме или очень высоких давлениях, при перегрузках и т. п.

Главные достоинства физического моделирования:

возможность получения обширного опытного материала, создания предпосылок для построения теоретических гипотез;

наглядность: физическое моделирование обеспечивает регистрацию наблюдений без преобразования, что приводит к уменьшению общей погрешности моделирования;

возможность воспроизведения сложных физических процессов.

В качестве условий, ограничивающих области применения этого вида моделирования, необходимо отметить следующее:

физическое моделирование основано на масштабировании исследуемого объекта, т.е. при увеличении геометрических размеров объекта исследования необходимо увеличивать и размеры физической модели, что увеличивает как временные, так и финансовые затраты на моделирование;

этот вид моделирования применяется для исследования только детерминированных объектов (процессов), описываемых законами классической механики и протекающих в однофазных системах с фиксированными границами;

физическое моделирование не применяется для исследования стохастических процессов.