1.2.2. Математическое моделирование

Математическое моделирование является обязательным инструментом современной инженерной практики. Оно применяется как на этапе предпроектных исследований, так и в ходе эскизного и рабочего проектирования.

Теория математического моделирования непрерывно развивалась в течение последних пятидесяти лет. Именно поэтому для многих понятий в литературе существуют не единственные определения.

Определение 1. Математическое моделирование – это метод исследования различных процессов путем “изучения явлений, имеющих различное физическое содержание, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями ” [2].

Определение 2. “Под математическим моделированием понимается процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики рассматриваемого реального объекта” [3].

Как в первом, так и во втором определении внимание сосредотачивается на свойстве изоморфности, при котором каждый элемент объекта-оригинала имеет единственный соответствующий элемент в модели.

Однако выполнение этого условия может оказаться затруднительным, т.к. никакого упрощения исследовательской задачи, являющейся важнейшим стимулом для моделирования, использование одних лишь изоморфных моделей не даёт. Но тогда появляется представление о математическом моделировании как об исследовании объекта с помощью упрощённого образа (совокупности математических моделей и допущений), т. е. к требованию гомоморфизма модели оригиналу.

Проявление изоморфизма обычно иллюстрируют примером аналогии между механическими и электрическими явлениями.

Например, имеется пружинный маятник, уравнение колебаний которого описывается соотношением

,

(1.1)

где – отклонение центра массы пружинного маятника от положения равновесия в момент времени t, m – его масса, – жесткость пружины.

Если обозначить и = , то (1.1) примет вид общего уравнения свободных колебаний:

(1.2)

Аналогичное уравнение можно получить, рассматривая эклектический колебательный контур, состоящий из включенных параллельно емкости С и катушки индуктивности L:

(1.3)

где q – мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора.

Если обозначить и q = , то (1.3) примет вид общего уравнения свободных колебаний (1.2).

Из приведенного примера следует:

закономерности свободных колебаний как механического маятника (1.1), так и в электрическом контуре (1.3) можно изучать с помощью одного общего уравнения (1.2),

параметры уравнений, характеризующих процессы – оригиналы (m, , С и L), можно подобрать таким образом, чтобы на основе уравнения (1.1) и уравнения (1.3) получить одинаковые значения коэффициента b математической модели (1.2).

Уравнение (1.2) можно рассматривать как теоретическую модель двух объектов: механического маятника и электрического колебательного контура. Но из приведенных выше выводов следует, что между уравнениями для объектов оригиналов (1.1) и (1.3) тоже должна существовать связь, которая позволит рассматривать каждый из объектов-оригиналов в качестве модели – аналога другого объекта (рис.1.2).

Теоретические модели разрабатываются и исследуются методами математического моделирования.

В 50-80-е годы прошлого века возможности вычислительной техники не всегда позволяли исследовать модели большой размерности и при изучении сложных биологических процессов и систем задачи моделирования решались на основе отношения, устанавливающегося между нижними вершинами треугольника (рис.1.2).

Например, если в качестве объекта (оригинала) рассматривать улитку (элемент внутреннего уха), а в качестве ее модели-аналога – электрическую схему (рис.3.9), то мы получим электрическую модель улитки. На основе этого принципа реализовывались универсальные аналоговые модели [4].

Рис.1.2. Схема отношений между моделями.

С распространением цифровой вычислительной техники интерес к аналоговым моделям упал. Однако в области моделирования биологических объектов имеется множество примеров удачных вариантов электрических моделей [5], которые могут рассматриваться как некоторый базовый вариант при переходе к математическим моделям и численным методам анализа.

Математическая модель представляется в виде уравнений или логических соотношений, с помощью которых обычно описывают состояния выходных (Y) и входных (X) координат объекта (оригинала) (рис.1.3).

Рис.1.3. Объект моделирования

Уравнение связи между выходными и входными координатами объекта (математическая модель) может, например, иметь вид

К главным достоинствам математического моделирования следует отнести возможность:

использовать вычислительную технику, что приводит к уменьшению как финансовых, так и временных затрат на моделирование;

использовать одинаковые программные средства для решения целого класса задач с одинаковыми математическими моделями;

упростить и ускорить процедуры изучения влияния вариации параметров на поведение объекта управления;

изучать как детерминированные, так и стохастические объекты и системы.

В качестве условий, ограничивающих области применения этого вида моделирования, необходимо отметить следующее:

• принимаемые при разработке математической модели допущения искажают сущность изучаемого процесса (объекта), снижают точность решения;

• математическое моделирование не позволяет визуально наблюдать за ходом изучаемого процесса (объекта);

• разработка математических моделей и вычислительные эксперименты требуют высокой квалификации специалистов.