3.2 Определение передаточных функций и характеристического уравнения системы.
В структурной схеме звенья могут быть соединены последовательно, параллельно и встречно – параллельно. При последовательном соединении передаточные функции перемножаются, при параллельном – складываются. Передаточную функцию встречно – параллельного соединения звеньев можно определить как частный случай передаточной функции одноконтурной системы, которая представлена на рисунке 3.1.
Передаточные функции замкнутой одноконтурной системы можно определить по следующему мнемоническому правилу. Передаточная функция замкнутой системы равно дроби, числителем которой является передаточная функция прямой цепи от входного до выходного сигналов, а знаменателем является единица плюс (минус) передаточная функция разомкнутой системы. Знак минус ставится для положительных, знак плюс для отрицательных обратных связей.
(3.7)
Передаточная функция разомкнутой системы определяется при разорванной цепи обратной связи перед элементом сравнения и для схемы на рисунке 3.1.
.
А передаточная
функция прямой цепи – это передаточная
функция цепи от входного до выходного
воздействия. Если определение передаточной
функции разомкнутой системы не
представляет трудности и знаменатели
передаточной функции замкнутой системы
не зависят от входного и выходных
сигналов, то надо приложить определённые
усилия, чтобы научиться определять
передаточные функции прямых цепей.
Чтобы найти передаточную функцию прямой
цепи надо по направлению стрелок,
показывающих передачу сигнала, определить
звенья через которые проходит сигнал
и перемножить их передаточные функции.
При этом надо учитывать и уравнение
элемента сравнения:
.
Проверьте, что для рисунка 3.1 можно
определить, например, следующие
передаточные функции прямых цепей:
Рис.3.1
Зная передаточную функцию прямой цепи, легко определяются передаточные функции замкнутой системы:
(3.9)
Характеристическое уравнение разомкнутой или замкнутой системы получают приравниванием к нулю знаменателя передаточных функций разомкнутой или замкнутой системы соответственно.
3.3. Построение областей устойчивости системы методом d-разбиения.
Разбиение пространства параметров на области с различным распределением корней характеристического уравнения называется D -разбиением. Разработаны методы D - разбиения для одного и двух параметров.
В курсовой
работе неизвестен один параметр
Выделим
его из характеристического уравнения
замкнутой системы:
(3.10)
Границу
областей D -
разбиения получим, если в уравнении
(3.10) предположим, что корень мнимый
,
и определим комплексное число:
.
(3.11)
Изменяя
от
до
,
построим в плоскости
кривую,
отображающую мнимую ось плоскости
на кривую
.
Полученная кривая делит плоскость
на области с различным расположением
корней. Эти области обозначаются через
,
где
число
правых корней характеристического
уравнения системы.
Кривая
D-разбиения строится
только для положительных значений
,
а для от-
Рисунок 3.2
рицательных
значений
дополняется кривой, симметричной
относительно действительной оси. Это
следует из четности
и нечетности
На рисунке 3.2 построена кривая D-разбиения.
После построения кривой D - разбиения
и ее штриховки надо проверить устойчивость
системы в области, претендующей на
устойчивость. Доя этого надо выбрать
значение
равным примерно 0.7
0.8 от максимального значения
и, используя критерии устойчивости
Гурвица, Михайлова определить устойчивость
системы, а по критерию Найквиста надо
определить и запасы устойчивости по
амплитуде и по фазе. Эти критерии
приведены в литературе [1,2].