2.1. Линейные электронные цепи
Линейной называется электронная цепь, функциональные характеристики которой подчиняются принципу суперпозиции:
. (2.1.1)
Отклик цепи на сумму воздействий равен сумме откликов на каждое воздействие в отдельности.
Из принципа суперпозиции следует:
независимость функциональных характеристик линейных цепей от уровней сигналов;
пропорциональность уровней сигналов на входе и выходе;
постоянство частоты преобразуемого сигнала при гармоническом воздействии;
сохранение свойства линейности при объединении линейных устройств в сколь угодно сложную цепь.
К числу линейных относятся электронные устройства, обеспечивающие выполнение математических операций умножения на постоянную величину, суммирования, интегрирования, дифференцирования, задержки сигналов во времени и другие.
Каждая электронная цепь описывается электрической схемой.
Электрическая схема – это графическое изображение электронной цепи.
Электрическая схема состоит из ветвей, узлов и контуров. Узлом называется место, где объединяется не менее трех двухполюсников. Ветвью называется двухполюсник, объединяющий два узла. Контуром называется замкнутая совокупность ветвей, в которой ни один узел не встречается дважды за исключением исходного (конечного).
2.1.3. Характеристики линейных цепей
а) Частотные характеристики линейных цепей
Определения
При гармоническом воздействии.
Комплексной частотной характеристикой
линейной цепи называется отношение
комплексных амплитуд гармонических
колебаний отклика и воздействия и
обозначается как 
, (2.1.31)
где
и
- комплексные амплитуды отклика и
воздействия соответственно.
Так как
- комплексная функция, то
(2.1.32)
или
, (2.1.33)
где
- модуль комплексной частотной
характеристики или амплитудно-частотная
характеристика (АЧХ) линейной цепи;
- аргумент комплексной частотной
характеристики или фазочастотная (ФЧХ)
характеристика линейной цепи;
- действительные амплитуд амплитуды
гармонических колебаний воздействия
и отклика соответственно;
-
начальные фазы гармонических колебаний
воздействия и отклика соответственно;
- 44 -
Амплитудно-частотной характеристикой линейной цепи называется отношение действительных амплитуд отклика и воздействия.
Фазочастотной характеристикой линейной цепи называется разность начальных фаз отклика и воздействия.
При произвольном воздействии.
Комплексной частотной характеристикой
линейной цепи называется отношение
спектральных плотностей отклика и
воздействия и имеет вид: 
, (2.1.34)
где
и
- спектральные плотности отклика и
воздействия соответственно.
Так как - комплексная функция, то
(2.1.35)
или
, (2.1.36)
где
- модуль комплексной частотной
характеристики или амплитудно-частотная
характеристика (АЧХ) линейной цепи;
- аргумент комплексной частотной
характеристики или фазочастотная (ФЧХ)
характеристика линейной цепи;
- спектральные плотности амплитуд
воздействия и отклика соответственно;
-
спектральные плотности фаз воздействия
и отклика соответственно;
Амплитудно-частотной характеристикой линейной цепи называется отношение спектральных плотностей амплитуд отклика и воздействия.
Фазочастотной характеристикой линейной цепи называется разность спектральных плотностей фаз отклика и воздействия.
Комплексная частотная характеристика линейной цепи в алгебраической форме примет вид:
,
где (2.1.37)
; 
.
- 45 -
Для двухполюсника
İ Z Если воздействие İ, а отклик
Ů, то
и
имеет
размерность сопротивления.
Ů Если воздействие İ, а отклик Ů, то
и
имеет
размерность проводимости. Других
частотных характеристик у двухполюсника
не имеется.
Для четырехполюсника
İ1 İ2
Ů1 Ů2
Основные комплексные частотные характеристики приведены в таблице 2.1.
Таблица 2.1.
№№ п/п |
Воздействие |
Отклик |
|
Размерность |
Название |
1 |
İ1 |
Ů1 |
Ů1/ İ1 |
Ом |
Входное сопротивление честырехполюсника |
2 |
Ů1 |
İ1 |
İ1/Ů1 |
Сименс |
Входная проводимость честырехполюсника |
3 |
İ2 |
Ů2 |
Ů2/ İ2 |
Ом |
Выходное сопротивление честырехполюсника |
4 |
Ů2 |
İ2 |
İ2/Ů2 |
Сименс |
Выходная проводимость честырехполюсника |
5 |
Ů1 |
Ů2 |
Ů2/Ů1 |
б/р |
Передаточная характерис-тика по напряжению |
6 |
İ1 |
İ2 |
İ2/İ1 |
б/р |
Передаточная характерис-тика по току |
Пример
Дана цепь: Найти: T(jω), T(ω), φ(ω)/
С
Ů1 İ R Ů2
По определению
- 46 -
;
Откуда АЧХ и ФЧХ находятся в виде:
Графики характеристик рассмотренной цепи приведены на рис.2.5.
Т(ω) φ(ω)
1 π/2
0,707 π/4
ω ω
1/СR 1/СR
а) б)
Рис. 2.5. Частотные характеристики рассмотренного
четырехполюсника (АЧХ – а, ФЧХ - б).
б) Операторные характеристики линейных цепей
Передаточной характеристикой Т(р) линейной цепи называется отношение изображений отклика и воздействия, т.е.
, где (2.1.38)
- изображения отклика и воздействия
соответственно.
Если известна комплексная частотная
характеристика линейной цепи, то
передаточную характеристику в операторном
виде можно найти путем формальной замены
.
Пример
Дана цепь: Найти: T(jω), T(ω), φ(ω)/
С
U1(p) I(p) R U2(p) По определению
- 47 -
;
или, если известно из предыдущего примера, что
в) Временные характеристики линейных цепей
К временным характеристикам линейных цепей относятся импульсная и переходная характеристики.
Импульсной характеристикой линейной цепи называется отклик цепи на воздействие в виде дельта – импульса δ(t). Обозначается импульсная характеристика g(t).
δ(t) g(t)
Переходной характеристикой линейной цепи называется отклик цепи на воздействие в виде единичного скачка 1(t). Обозначается переходная характеристика h(t).
1(t) h(t)
г) Связь дифференциальных уравнений, частотных и операторных
характеристик линейных цепей.
Дано дифференциальное уравнение, описывающее линейную цепь
, (2.1.39)
где x(t) - воздействие и ему соответствует спектральная плотность S1(jω) и изображение S1(p),
y(t) - отклик и ему соответствует спектральная плотность S2(jω) и изображение S2(p).
- 48 -
Возьмем преобразование Фурье от правой и левой части уравнения (2.1.38), получим
(2.1.40)
или 
(2.1.41)
Откуда
. (2.1.42)
Возьмем преобразование Лапласа от правой и левой части уравнения (2.1.38), получим
(2.1.43)
или 
(2.1.44)
Откуда
. (2.1.45)
д) Связь временных , частотных и операторных характеристик
линейных цепей
Связь временных и частотных характеристик
Рассмотрим импульсную характеристику линейного четырехполюсника g(t).
δ(t) Т(jω)
g(t) По определению
Спектральная плотность δ(t) равна 1. Спектральной плотности g(t) пусть будет соответствовать некоторая функция G(jω), подлежащая определению.
- 49 -
Поставляя спектральные плотности δ(t) и g(t) в выражение для комплексной частотной характеристики, получаем
, (2.1.46)
т.е. спектральная плотность импульсной характеристики совпадает с комплексной частотной характеристикой линейной цепи.
Таким образом g(t) и Т(jω) связаны парой преобразования Фурье
∞
Т
(jω)
= ∫ g(t)exp(-jωt)dt
-∞
∞ (2.1.47)
g(t) = (1/2π) ∫ T(jω) exp(jωt)dω.
∞
Рассмотрим переходную характеристику линейного четырехполюсника
1(t) T(jω) h(t)
Спектральная плотность 1(t) равна 1/p. Спектральной плотности h(t) пусть будет соответствовать некоторая функция H(jω), подлежащая определению.
Поставляя спектральные плотности 1(t) и h(t) в выражение для комплексной частотной характеристики, получаем
,
или
(2.1.48)
. (2.1.49)
т.е. спектральная плотность переходной характеристики совпадает с комплексной частотной характеристикой линейной цепи, деленной на jω.
Таким образом h(t) и Т(jω) связаны парой преобразования Фурье
∞
Т (jω)/jω = ∫ h(t)exp(-jωt)dt
-∞
∞ (2.1.50)
h(t) = (1/2π) ∫ [T(jω)/(jω)] exp(jωt)dω.
∞
- 50 -
Связь временных и операторных характеристик
Рассмотрим импульсную характеристику линейного четырехполюсника g(t).
δ(t) Т(p) g(t)
По определению
Изображение δ(t) равна 1. Изображение g(t) пусть будет соответствовать некоторая функция G(p), подлежащая определению.
Поставляя изображения δ(t) и g(t) в выражение для комплексной частотной характеристики, получаем
, (2.1.51)
т.е. изображение импульсной характеристики совпадает с передаточной характеристикой линейной цепи в операторном виде.
Таким образом g(t) и Т(p) связаны парой преобразования Лапласа
∞
Т (p) = ∫ g(t)exp(-pt)dt
0
c+j∞ (2.1.52)
g(t) = (1/2jπ) ∫ T(p) exp(pt)dω.
c-j ∞
1(t) T(p) h(t)
Изображение 1(t) равно 1/p. Изображению h(t) пусть будет соответствовать некоторая функция H(p), подлежащая определению.
Поставляя изображения 1(t) и h(t) в выражение для передаточной характеристики в операторном виде, получаем
,
или
(2.1.53)
. (2.1.54)
т.е. изображение переходной характеристики совпадает с передаточной характеристикой линейной цепи в операторном виде, деленной на p.
- 51 -
Таким образом h(t) и Т(p) связаны парой преобразования Лапласа
∞
S (p)/p = ∫ h(t) exp(-рt)dt и
0
с+j∞ (2.1.55)
h(t) = (1/2πj) ∫ [T(p)/p] exp(pt)dp
с+j∞
Связь импульсной и переходной характиристик
Сравним изображения импульсной и переходной характеристик
g(t) .=˚ T(p)
h(t) .=˚ T(p)/p
Из свойства интегрируемости преобразования Лапласа следует, что
и (2.1.56)
.