2.1.4. Методы анализа линейных цепей

Анализ линейных четырехполюсников состоит в процедуре нахождения отклика (выходного сигнала) по заданному воздействию (входному сигналу) и электрической схеме или характеристике четырехполюсника.

К методам анализа относятся метод дифференциальных уравнений, спектральный, операторный и временной методы.

а) Метод дифференциальных уравнений

Рассмотрим линейный четырехполюсник вида

L R

I(t)

u 1(t) C u2(t) = ?

По второму закону Кирхгофа

u1(t) = uR(t) + uL(t) + uC(t), uR(t) = i(t)R, uC = u2(t),

Составим дифференциальное уравнение

.

- 52 -

Так как

,то

или

Получили дифференциальное уравнение, связывающее отклик и воздействие .

Решая дифференциальное уравнение при заданном , находим .

Алгоритм анализа

1). По заданной схеме составляем дифференциальное уравнение цепи, связывающее входной и выходной сигналы;

2). Решение дифференциального уравнения и нахождение выходного сигнала.

б) Спектральный метод анализа линейных цепей

Спектральный метод анализа состоит в нахождении выходного сигнала при использовании комплексной частотной характеристики.

u1(t) T(jω) u2(t) =?

Спектральный метод разбивается на два случая: в первом случае входной сигнал периодический, во втором случае входной сигнал непериодический.

Спектральный метод анализа при периодическом входном воздействии.

В этом случае представляем входной сигнал в виде совокупности гармонических колебаний с амплитудами Аn и начальными фазами φn в виде

. (2.1.57)

Так как

, то

- 53 -

, , и

. (2.1.58)

Алгоритм анализа

1). Нахождение Т(jω), если линейная цепь задана электрической схемой.

2). Разложение входного сигнала в тригонометрический ряд Фурье.

3). Нахождение постоянной и амплитуд и фаз гармонических составляющих на выходе цепи.

4). Восстановление выходного сигнала по полученным амплитудам и фазам.

Спектральный метод анализа при непериодическом входном воздействии.

Задан линейный четырехполюсник

u1(t) T(jω) u2(t) =?

Так как спектральные плотности входного и выходного сигналов будут соответственно для , для , то с учетом определения комплексной частотной характеристики

(2.1.59)

получим . (2.1.60)

И используя обратное преобразование Фурье, получим выходной сигнал

. (2.1.61)

Алгоритм анализа

1). Определение T(jω), если цепь задана электрической схемой.

2). Расчет спектральной плотности входного сигнала S1(jω) с помощью прямого преобразования Фурье от u1(t).

3). Расчет спектральной плотности выходного сигнала S2(jω) = S1(jω) T(jω).

4). Нахождение выходного сигнала u2(t) c помощью обратного преобразования Фурье от S2(jω).

- 54 -

в) Операторный метод анализа линейных цепей.

Задан линейный четырехполюсник

u1(t) T(p) u2(t) =?

Так как изображения входного и выходного сигналов будут соответственно для , для , то с учетом определения передаточной характеристики в операторном виде

(2.1.62)

получим . (2.1.63)

И используя обратное преобразование Фурье, получим выходной сигнал

. (2.1.64)

Алгоритм анализа

1). Определение T(p), если цепь задана электрической схемой.

2). Расчет изображения входного сигнала S1(p) с помощью прямого преобразования Лапласа от u1(t).

3). Расчет спектральной плотности выходного сигнала S2(p) = S1(p) T(p).

4). Нахождение выходного сигнала u2(t) c помощью обратного преобразования Лапласа от S2(p).

Пример I

Дан четырехполюсник

Рассмотрим линейный четырехполюсник вида

Найти операторным методом

импульсную характеристику цепи.

u1(t) R u2(t) = ? u1(t) = δ(t) u2(t) = g(t)

, .

, т.е.

.

- 55 -

График импульсной характеристики приведен на рис.2.6.

g(t)

t

Рис.2.6.

Пример 2

Дан четырехполюсник

С u1(t) = аt

u 1(t) R u2(t) = ?

, т.е.

.

График выходного сигнала приведен на рис.2.7.

u2(t)

a RC

t

Рис.2.7.

В обоих примерах обратное преобразование Лапласа найдено с помощью теоремы разложения (Хэвисайда).

г) Временной метод анализа линейных цепей.

На основе переходной характеристики.

Задан линейный четырехполюсник, входной сигнал u1(t) и импульсная характеристика g(t).

П редположим, что входной сигнал задан в виде функции, изображенной на рис.2.8. Из рисунка

u 1(t) h(t) u2(t) =? ясно, что функцию u1(t) можно представить в виде совокупности начального скачка u1(0)1(t) и мно-

жества малых скачков ∆u1(τ)1(t - τ), последова-

u1(t) тельно смещаемых во времени на интервал ∆τ, т.е.

∆u1(t)

(2.1.65)

τ ∆τ или

Рис.2.8

- 56 -

. (2.1.66)

Из определения переходной характеристики и принципа суперпозиции следует, что

. (2.1.67)

Если ∆τ→∞, то получим точное значение функции u2(t) или

Взяв предел, получим

. (2.1.68) Интегрируя второе слагаемое по частям, получим

. (2.1.69)

Сделав замену переменных ξ = t – τ, получим

или

. (2.1.70)

Интегрируя по частям второе слагаемое, получим

(2.1.71)

Выражения (2.1.68), (2.1.69), (2.1.70) и (2.1.71) получили названия интегралов Дюамеля.

На основе импульсной характеристики

Задан линейный четырехполюсник, входной сигнал u1(t) и импульсная характеристика g(t).

П редположим, что входной сигнал задан в виде функции, изображенной на рис.2.9. Из рисунка

u 1(t) g(t) u2(t) =? ясно, что функцию u1(t) можно представить в виде

- 57 -

последовательности прямоугольных импульсов un(t)

(n=0,1,2,…) малой длительности ∆τ. Аналитически

u1(t) любой такой импульс можно записать

t , (2.1.72)

τn ∆τ где τn = n∆τ, или

Рис.2.1.9.

или

Тогда входной сигнал можно приблизительно записать в виде

. (2.1.73)

Из определения импульсной характеристики и принципа суперпозиции следует, что

. (2.1.74)

Если ∆τ→∞, то получим точное значение функции u2(t) или

Взяв предел, получим

.

Последнее выраже6ние называется интегралом свертки, т.е. выходной сигнал линейной цепи равен свертке входного сигнала и импульсной характеристики цепи.