- •Требования к представлению и оформлению результатов типового расчета
- •1 Классическое определение вероятности
- •1.1 Теоретические сведения и примеры решения задач
- •1.2 Варианты задачи № 1
- •1.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 1
- •2 Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •2.1 Теоретические сведения
- •2.2 Варианты задачи № 2
- •2.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 2
- •3 Формула полной вероятности и формула бейеса
- •3.1 Теоретические сведения и примеры решения задач
- •3.2 Варианты задачи № 3
- •3.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 3
- •4 Схема повторных независимых испытаний
- •4.1 Теоретические сведения и примеры решения задач
- •4.2 Варианты задачи № 4
- •4.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 4
- •5 Дискретные случайные величины
- •5.1 Теоретические сведения и примеры решения задач
- •5.2 Варианты задачи № 5
- •5.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 5
- •6 Непрерывные случайные величины
- •6.1 Теоретические сведения и примеры решения задач
- •6.2 Варианты задачи № 6
- •6.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 6
- •7 Системы случайных величин
- •7.1 Теоретические сведения и примеры решения задач
- •7.2 Варианты задачи № 7
- •7.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 7
- •8 Интервальная оценка параметров распределения
- •8.1 Теоретические сведения и примеры решения задач
- •8.2 Варианты задачи № 8
- •8.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 8
- •9 Элементы теории корреляции
- •9.1 Теоретические сведения и примеры решения задач
- •9.2 Варианты задачи № 9
- •9.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 9
- •10 Статистические гипотезы
- •10.1 Теоретические сведения и примеры решения задач
- •10.2 Варианты задачи № 10
- •10.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 10
- •Литература
- •Приложение а
- •Содержание
- •Теория вероятностей и математическая статистика
9.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 9
Как определяется зависимость между признаками: а) функциональная; б) вероятностная; в) корреляционная?
В чем заключается задача: а) корреляционного анализа; б) регрессионного анализа?
Что называется диаграммой рассеяния или корреляционным полем?
В чем состоит разница в понятиях «теоретический коэффициент корреляции» и «выборочный коэффициент корреляции»?
Как определяется выборочный коэффициент корреляции?
Сформулируйте свойства выборочного коэффициента корреляции.
Какой вид имеет уравнение регрессии переменной Y на Х в случае линейной регрессионной модели?
Как оценивается теоретическая прямая регрессии переменной Y на Х?
Как определяется точечный прогноз среднего значения зависимой переменной Y при заданном значении независимой переменной Х?
Что можно сказать о характере зависимости между случайными величинами Х и Y при: а) r = 0; б) r = 1; в) r = -1?
10 Статистические гипотезы
10.1 Теоретические сведения и примеры решения задач
Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.
Нулевой гипотезой Н0 называется проверяемая гипотеза.
Вероятность допустить ошибку, а именно: отвергнуть верную гипотезу Н0 , называется уровнем значимости.
Правило, по которому нулевая гипотеза отвергается или принимается, называется статистическим критерием.
Статистический критерий, служащий для проверки гипотез о виде закона распределения, называется критерием согласия.
Критерий согласия Пирсона :
,
где эмпирические частоты случайной величины Х;
теоретические частоты;
вероятности, рассчитанные по предполагаемому теоретическому распределению.
Схема применения критерия согласия Пирсона сводится к следующему:
а) определяется мера расхождения теоретических и эмпирических частот, вычисляется статистика ;
б) для выбранного уровня значимости по таблице распределения (таблица А4 Приложения А) находится критическое значение при числе степеней свободы , где m – число выборочных
групп, s число параметров теоретического распределения, определяемого по опытным данным.
в) если наблюдаемое значение больше критического, то гипотеза Н0 отвергается, в противном случае гипотеза не противоречит опытным данным на заданном уровне значимости.
При использовании критерия Пирсона следует помнить, что он дает удовлетворительные результаты, если в каждом группировочном интервале число наблюдений не меньше 5. В противном случае имеет смысл объединить соседние интервалы. При этом соответствующим образом уменьшится число степеней свободы.
Задача. Получено следующее распределение 100 рабочих цеха по выработке в отчетном году (в % к предыдущему году):
Выработка в отчетном году (в % к предыдущему году) |
Менее 104 |
104114 |
114124
|
124134 |
Более 134 |
Количество рабочих |
6 |
20 |
45 |
24 |
5 |
С помощью критерия согласия Пирсона проверить гипотезу о том, что выработка на одного рабочего в отчетном году (в % к предыдущему) подчиняется нормальному закону распределения. Уровень значимости критерия принять равным 0,05.
Решение. Нулевая гипотеза Н0 состоит в том, что исследуемый признак Х – выработка на одного рабочего в отчетном году (в % к предыдущему) подчиняется нормальному закону распределения.
В качестве оценок двух неизвестных параметров а и будут фигурировать соответствующие выборочные характеристики: и . Можно показать, что . Исследуемый признак принимает значения на всей вещественной оси (в принципе, но не в реальности). Поэтому интервалы разбиения таковы, что левый конец и правый конец .
Теоретические вероятности находятся по формуле
, i = 1, 2, … , k.
Необходимые для этих вычислений значения функции взяты из таблицы А1 Приложения А. Дальнейшие выкладки сведены ниже в таблицу. При этом объединены два последних интервала группировки ввиду их малочисленности.
Интервал группи-ровки |
Частота |
|
Функция |
Вероят-ность |
|
|
|
6 |
−∞ |
−0,5 |
0,053 |
5,3 |
0,092 |
|
20 |
−1,62 |
−0,447 |
0,238 |
23,8 |
0,636 |
|
45 |
−0,55 |
−0,209 |
0,404 |
40,4 |
0,524 |
|
24 |
0,51 |
0,195 |
0,248 |
24,8 |
0,026 |
|
5 |
1,57 |
0,442 |
0,057 |
5,7 |
0,11 |
− |
− |
+ ∞ |
0,5 |
− |
− |
− |
|
|
Вычисленное статистическое значение критерия . По количеству интервалов группировки m = 5, числу параметров нормального распределения найдем число степеней свободы 5 – 3 = 2. Для заданного уровня значимости критерия и числа степеней свободы k = 2 по таблице А4 Приложения А находим . Так как , то нулевая гипотеза о нормальном распределении величины выработки рабочего согласуется с имеющимися данными.