3.3 Теоретические вопросы к защите расчетного задания № 3

1. Что называют гипотезами?

2. Какому условию должны удовлетворять вероятности гипотез?

3. Как выглядит формула полной вероятности?

4. При каком условии применяется формула полной вероятности?

5. Как выглядит формула Бейеса?

6. При каких условиях применяется формула Бейеса?

4 Схема повторных независимых испытаний

4.1 Теоретические сведения и примеры решения задач

Вероятность наступления события А m раз при n повторных независимых испытаниях определяется по формуле Бернулли:

,

где р = Р(А) − вероятность появления события А в одном испытании;

q = = 1 – р – вероятность ненаступления события А в каждом испытании.

Наивероятнейшем числом появления события А называется число , которому при заданном n соответствует максимальная вероятность . Если число не является целым, то ; если  целое число, то имеет два значения и .

Локальная асимптотическая формула Муавра – Лапласа:

,

где и .

Условия применения: n – велико, а р и q – не очень малы, так что ; значения функции определяются по таблице (табли- ца А1 Приложения А), является четной функцией.

Асимптотическая формула Пуассона:

,

где .

Условия применения: n – велико, а р – мало, так что .

Асимптотическая интегральная формула Муавра – Лапласа:

,

где , , − функция Лапласа, табулированная в приложении А (см. таблица А1); функция Ф(х) является нечетной, при полагают, что Ф(х) = 0,5.

Вероятность отклонения частоты появления события А от вероятности этого события определяется по формуле:

.

Задача 1. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 42 размера, равна 0,35. Найти вероятность того, что из шести покупателей, по крайней мере, двум необходима обувь 42 размера.

Решение. В данной задаче в качестве испытания рассматривается покупатель и выясняется, требуется ли ему обувь 42 размера. Событие А – «покупателю нужна обувь 42 размера», р = Р(А) = 0,35, число испытаний n = 6. Нужно найти вероятность того, что событие А произойдет 2, 3, 4, 5 или 6 раз. Для нахождения указанных вероятностей применим формулу Бернулли, затем их просуммируем:

Ту же задачу можно решить иначе. Найдем вероятность противоположного события, т.е. из шести покупателей менее чем двум необходима обувь 42 размера:

Теперь определим искомую вероятность: . Второй способ является более предпочтительным, так как требует выполнения меньшего числа действий.

Задача 2. Подлежат исследованию 400 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе одинакова и равна 0,8. Найти вероятность того, что среди проверенных будет проб с промышленным содержанием металла: а) 320; б) от 290 до 350 включительно.

Решение. 400 проб – это 400 испытаний, в каждом из которых событие А – «проба с промышленным содержанием металла» может произойти с вероятностью 0,8, т.е. имеем схему повторных испытаний, n велико, , можно применять асимптотические формулы Муавра − Лапласа. а) , применяем локальную формулу Муавра − Лапласа:

б) применяем интегральную формулу Муавра  Лапласа: