- •I. Метод координат на плоскости
- •§ 1. Аффинная система координат
- •§ 2. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 3. Переход к новой аффинной системе координат
- •§ 4. Прямоугольная декартова система координат
- •1) При системах координат одинаковых типов:
- •2.) При системах координат различных типов:
- •§5. Полярная система координат
- •§6. Геометрический смысл уравнений и неравенств в координатах
- •II. Прямая линия на плоскости
- •§7. Уравнения прямой, проходящей через данную точку и через две данные точки
- •§8. Общее уравнение прямой
- •§9. Другие способы задания прямой
- •10. Параметрические уравнения прямой
- •20. Уравнение прямой в отрезках на осях координат
- •30. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •§10. Взаимное расположение точки и прямой
- •§ 11. Взаимное расположение двух прямых
- •Будем искать уравнение искомой прямой в виде . Имеем: .
- •§ 12. Нормальное уравнение прямой. Полярное уравнение прямой. Пучок прямых
- •III. Линии второго порядка
- •§13. Эллипс («Недостаток»)
- •§14. Директрисы эллипса
- •§15. Исследование уравнения эллипса
- •1. Оси и центры
- •2. Вершины
- •3. Расположение относительно осей
- •4. Другие уравнения эллипса
- •§16. Гипербола («Избыток» - греческий)
- •§17. Исследование уравнения гиперболы
- •1. Оси и центр
- •2. Вершины
- •3. Расположение относительно осей
- •4. Асимптоты ( от греческого – несовпадающий, не касающийся)
- •§18. Парабола (“приложение”)
- •§19. Исследование уравнения параболы
- •1. Ось и вершина
- •2. Расположение относительно оси и директрисы
- •3. Фокальная хорда
- •4. Другие виды уравнения параболы
- •§20. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
- •§21. Общее уравнение линии второго порядка
- •IV Преобразование плоскости
- •§21. Понятие отображения.
- •§22. Отображения фигур на плоскости.
- •§23. Композиция отображений.
- •§24.Обратное отображение.
- •§25. Группа преобразований.
- •§26. Группа движений.
- •Классификация движений плоскости:
- •§27. Формулы движений.
- •§28. Группа симметрий фигуры.
- •§29. Группа преобразований подобия.
- •§30. Формулы подобия.
- •§31. Группа аффинных преобразований.
- •§32. Применение преобразований плоскости к решению задач.
- •V. Метод координат в пространстве
- •§22. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат в пространстве
- •§23. Векторное произведение векторов
- •§24. Смешанное произведение векторов
- •VI. Плоскости и прямые
- •§ 1. Общее уравнение плоскости
- •§26. Специальные виды уравнений плоскости
- •§27. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 28. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§ 29. Связка плоскостей и пучок плоскостей
- •§ 30. Способы задания прямой в пространстве
- •10. Параметрические уравнения прямой
- •20. Канонические уравнения прямой
- •30. Связка прямых
- •40. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •50. Общие уравнения прямой
- •§31. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •§ 32. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •VII. Поверхности второго порядка
- •§33. Общее уравнение поверхности второго порядка
- •§34. Эллипсоид
- •§35. Однополостный гиперболоид
- •§36. Двуполостный гиперболоид
- •§37. Эллиптический параболоид
- •§38. Гиперболический параболоид
- •§39. Цилиндрические поверхности
- •§40. Конические поверхности
- •§41. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
- •10. Однополосный гиперболоид.
- •20. Гиперболический параболоид.
Классификация движений плоскости:
§27. Формулы движений.
Пусть имеется некоторые движение f плоскости. Выберем на плоскости прямоугольную декартову систему координат и обозначим через (х;у) координаты произвольной точки М, а через (x/;у/) – координаты ее образа М/ при движении f в этой же системе координат:
f .
Найдем аналитическое выражение движения f в системе координат , то есть формулы, связывающие координаты точки и ее образа при движении.
Теорема 1: движение 1-го рода задается формулами:
(1)
А движение 2-го рода задается формулами:
(2)
Доказательство.
П усть f – движение 1-го рода, причем согласно замечанию 2 (пункт 4) из §26 при движении прямоугольная декартова система координат отображается на прямоугольную декартову систему координат.
По определению движения имеем: ОМ=О/М/ - диагонали прямоугольников с вершинами М и М/ и сторонами на соответствующих … координат равны. Тогда равны и сами эти прямоугольники. Поэтому точка М/ имеет в системе координат те же самые координаты х, у, что и точка М в системе координат .
Применим к точке М/ теорему 2 из §11, учитывая, что движение первого рода типа системы координат:
(3)
Где ( ) – «новые» ординаты точки М/ в «старой» системе координат , но теперь они равны и соответственно. В правой части равенств (3) стоят координаты точки М/ в «новой» системе координат , но теперь они равны х и у соответственно.
Заменим координаты х, у, координатами , , и таким образом получим формулы (1).
Если f – движение 2-го рода, то формулы (2)доказываются аналогично, если учесть, что движение 2-го рода изменяет ориентацию плоскости и тип системы координат на противоположные.
Замечания:
В формулах (1) и (2) - ( ) – координаты точки О/ - образа «старого» начала координат О – в «старой» системе координат : .
;
Формулы (1) и (2) можно объединить следующим образом:
где ε= 1. (1)
Имеет место теорема, обратная доказанной.
Теорема 2: всякое преобразование плоскости, задаваемое в прямоугольной декартовой системе координат формулами (1), является движением 1-го рода, а формулами (2) – движением 2-го рода;
Формулы движений имеют внешнее сходство с формулами перехода от одной системы координат к другой (см. §11). Однако, формулы движений связывают координаты двух точек – М и ее образа М/ - в одной и той же системе координат, а формулы перехода связывают одной и той же точки в разных системах координат – «старой» и «новой».
Частные случаи движений:
Движения 1-го рода:
вокруг начала координат на угол .
симметрии с центром О (0;0).
Движения 2-го рода:
с осью Ох.
с осью Оу.