§26. Специальные виды уравнений плоскости
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
Пусть
три
точки общего положения (не лежащие на
одной прямой). Как известно из школьного
курса геометрии, эти точки определяю
единственную плоскость α.
Обозначим M(x y z)- произвольную точку плоскости, где x, y, z – текущие координаты, и рассмотрим векторы:
(x-
;
y-
;
z-
);
(
-
;
-
;
-
);
(
-
;
-
;
-
;
Их смешанное произведение равно 0, так как эти векторы компланарны:
(
)=0.
Имеем:
=0 (1)
Уравнение плоскости в отрезках на осях
Пусть
плоскость не проходит через начало
координат и пересекает все оси координат
соответственно в точках A(
),
B(0;
;
0), C(0;0;
).
Тогда предыдущее уравнение можно
записать в виде:
=0 (2)
Уравнение плоскости в отрезках на осях координат:
x/a0 + y/b0 + z/c0 = 1
Пример1. -2y+3z-6=0 привести общее уравнение плоскости к виду в отрезках на осях и изобразить эту плоскость.
x-2y+3z=6,
,
.
Параметрические уравнения плоскости
Плоскость
может быть задана некоторой точкой
(
;
)
и двумя неколлинеарными векторами
(
;
)
и 
(
;
),
ей параллельными. При этом точка
и концы векторов
и
не лежат на одной прямой, так что
плоскость оказывается заданной тремя
своими точками общего положения.
Пусть
М(х;у;z)-
произвольная точка плоскости. В силу
коллинеарности векторов 
,
,
имеет место разложения:
=
+ 
, (3)
где
Так
как О
= O
+
,
то векторное уравнение плоскости:
О
= O
+ 
+ 
.
(4)
Прейдем к координатам в уравнении (4):
(х;у;z);
;
);
(
;
);
(
;
).
Окончательно получаем параметрические уравнения плоскости:
(5)
где
переменные
и
- параметры,
, 
R;
Векторы
и
- направляющие векторы плоскости.
Придавая в равенствах (5) переменным
и 
соответствующие
значения, будем находить координаты
точек плоскости.
§27. Расстояние от точки до плоскости
Теорема 1. Расстояние δ от точки М0(x0;y0;z0) до плоскости α с уравнением
ax+by+cz+d=0 (1)
выражается формулой:
δ
= 
. (2)
Доказательство.
Пусть М1(x1;y1;z1) – основание перпендикуляра, проведенного из точки М0 к плоскости α. Тогда вектор n = (a;b;c), перпендикулярный плоскости α, коллинеарен вектору М1М0: n ↑↑ М1М0 или n ↑↓ М1М0.
По теореме о скалярном произведении векторов имеем:
М1М0*n=
│М1М0│
│n│
cos
<(М1М0,
)
= │ М1М0
│
│n
│
(±1).
Учитывая, что: М1М0 (x0 – x1; y0 – y1; z0 – z1);
│n
│= 
,
δ = │ М1М0
│=
р (М0,
α), получаем:
(x0
– x1)
a
+ (y0
– y1)
b
+ (z0
– z1)
c = ± ρ (М0,
α)
(3)
Так
как М1
α, то 
.
.
Из равенства (3) окончательно получим:
р
(М0,
α) = δ = 
.
Теорема доказана.
Теорема 2.Координаты точек одного из открытых полупростых неравенств , на которые плоскость у равнением (1) делит пространство, удовлетворяющее неравенству ax + by + cz + d > 0, а координаты точек другого открытого полупространства удовлетворяют неравенству противоположного смысла:
.
Следствие.
Если точки
и
лежат по одну сторону от плоскости
с уравнением (1), то многочлен
при подстановке в него координат этих
точек принимает значения одного знака,
а если по разные стороны – значения
разных знаков.
Доказательства аналогичны доказательствам соответствующих утверждений для прямой в планиметрии.
Пример
1.
Исследовать взаимное расположение
точки
и плоскости
:
.
Решение.
;
;
.
Точка
находится на расстоянии
от плоскости
по другую сторону от неё по отношению
к началу координат.
Пример
2.
Тетраэдр ОАВС,
ограниченный координатными плоскостями
и плоскостью
:
задается системой неравенств (нестрогих):
а его внутренняя область – соответствующей системой строгих неравенств.
,
,
.