- •I. Метод координат на плоскости
- •§ 1. Аффинная система координат
- •§ 2. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 3. Переход к новой аффинной системе координат
- •§ 4. Прямоугольная декартова система координат
- •1) При системах координат одинаковых типов:
- •2.) При системах координат различных типов:
- •§5. Полярная система координат
- •§6. Геометрический смысл уравнений и неравенств в координатах
- •II. Прямая линия на плоскости
- •§7. Уравнения прямой, проходящей через данную точку и через две данные точки
- •§8. Общее уравнение прямой
- •§9. Другие способы задания прямой
- •10. Параметрические уравнения прямой
- •20. Уравнение прямой в отрезках на осях координат
- •30. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •§10. Взаимное расположение точки и прямой
- •§ 11. Взаимное расположение двух прямых
- •Будем искать уравнение искомой прямой в виде . Имеем: .
- •§ 12. Нормальное уравнение прямой. Полярное уравнение прямой. Пучок прямых
- •III. Линии второго порядка
- •§13. Эллипс («Недостаток»)
- •§14. Директрисы эллипса
- •§15. Исследование уравнения эллипса
- •1. Оси и центры
- •2. Вершины
- •3. Расположение относительно осей
- •4. Другие уравнения эллипса
- •§16. Гипербола («Избыток» - греческий)
- •§17. Исследование уравнения гиперболы
- •1. Оси и центр
- •2. Вершины
- •3. Расположение относительно осей
- •4. Асимптоты ( от греческого – несовпадающий, не касающийся)
- •§18. Парабола (“приложение”)
- •§19. Исследование уравнения параболы
- •1. Ось и вершина
- •2. Расположение относительно оси и директрисы
- •3. Фокальная хорда
- •4. Другие виды уравнения параболы
- •§20. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
- •§21. Общее уравнение линии второго порядка
- •IV Преобразование плоскости
- •§21. Понятие отображения.
- •§22. Отображения фигур на плоскости.
- •§23. Композиция отображений.
- •§24.Обратное отображение.
- •§25. Группа преобразований.
- •§26. Группа движений.
- •Классификация движений плоскости:
- •§27. Формулы движений.
- •§28. Группа симметрий фигуры.
- •§29. Группа преобразований подобия.
- •§30. Формулы подобия.
- •§31. Группа аффинных преобразований.
- •§32. Применение преобразований плоскости к решению задач.
- •V. Метод координат в пространстве
- •§22. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат в пространстве
- •§23. Векторное произведение векторов
- •§24. Смешанное произведение векторов
- •VI. Плоскости и прямые
- •§ 1. Общее уравнение плоскости
- •§26. Специальные виды уравнений плоскости
- •§27. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 28. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§ 29. Связка плоскостей и пучок плоскостей
- •§ 30. Способы задания прямой в пространстве
- •10. Параметрические уравнения прямой
- •20. Канонические уравнения прямой
- •30. Связка прямых
- •40. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •50. Общие уравнения прямой
- •§31. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •§ 32. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •VII. Поверхности второго порядка
- •§33. Общее уравнение поверхности второго порядка
- •§34. Эллипсоид
- •§35. Однополостный гиперболоид
- •§36. Двуполостный гиперболоид
- •§37. Эллиптический параболоид
- •§38. Гиперболический параболоид
- •§39. Цилиндрические поверхности
- •§40. Конические поверхности
- •§41. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.
- •10. Однополосный гиперболоид.
- •20. Гиперболический параболоид.
III. Линии второго порядка
§13. Эллипс («Недостаток»)
Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная. Эти точки и называются фокусами эллипса, а расстояние между ними называется фокальным расстоянием.
Название «эллипс» ввел Аполлоний Пергский (ок. 262 – ок. 190 до н. э.), рассматривавший его как одно из конических сечений.
Замечания.
1) Половину указанной суммы обозначают через а, тогда сама сумма равна 2а. Если М – произвольная точка эллипса, то числа , – называются фокальными радиусами и по определению эллипса получаем:
.
2) Половину фокального расстояния обозначают через c, тогда Из треугольника ∆ имеем: или или
Теорема. Если фокусы эллипса лежат на оси ОХ прямоугольной декартовой системы координат Oxy и симметричны относительно начала координат, то в этой системе эллипс имеет уравнение:
(1)
где (2)
Уравнение (1) называется каноническим или простейшим уравнением эллипса.
Доказательство.
Пусть M(x; y) – произвольная точка эллипса, и – его фокусы. Тогда по определению эллипса имеем: Перейдем в этом равенстве к координатам:
,
(3)
. (4)
Так как , то и можно положить , отсюда
.
Уравнение (4) примет вид: . Делим обе его части на
Итак, доказано, что координаты произвольной точки эллипса удовлетворяют уравнению (1). Аналогично можно доказать, что координаты любой точки , не лежащей на эллипсе, уравнению (1) не удовлетворяют.
Теорема доказана.
Определение 2. Число называется эксцентриситетом эллипса с уравнением (1) при условии (2).
Замечание.
3) Так как то .
Если с = 0, то ε= 0 и из (2) получаем a = b. Уравнение (1) принимает вид:
или - уравнение окружности с центром в начале координат О (0; 0) радиуса . Таким образом, ε характеризует отличие эллипса от окружности, его «вытянутость»;
4) Так , то уравнение (3) принимает вид: или или .
Термин «эксцентриситет» ввел Иоганн Кеплер (1715 - 1630).
§14. Директрисы эллипса
Определение. Директрисами эллипса с уравнением (1) при условии (2) называются прямые, определяемые уравнениями: , где . Так как то .
Замечание. У окружности ε = 0 и директрис нет.
Теорема. Отношение расстояния от произвольной точки эллипса до фокуса к ее расстоянию до ближайшей к этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равна эксцентриситету эллипса.
Доказательство.
Пусть M (x, y) – произвольная точка эллипса, - расстояние от нее до ближайшей к фокусу директрисы: .
По замечанию 4 имеем: , тогда: или . Аналогично рассуждая получим, что .
Теорема доказана.
§15. Исследование уравнения эллипса
Пусть эллипс задан каноническим уравнением
, (1)
где , то есть .
1. Оси и центры
Пусть М (х; у) – произвольная точка эллипса. Уравнение (1) содержит переменную во 2-ой степени, следовательно, при замене на уравнение (1) не изменится. Значит, точка М (-х; у) также лежит на эллипсе. Но эти точки симметричны относительно оси OY, тогда и весь эллипс симметричен относительно оси ординат.
Аналогично, уравнение (1) не изменится при замене y на –y, следовательно, эллипс симметричен относительно оси абсцисс.
Уравнение (1) не изменится также при одновременной замене x на –x и y на –y, следовательно, эллипс с уравнением (1) симметричен относительно начала координат.
Определение 1. Центр симметрии эллипса называется его центром, оси симметрии эллипса называются его осями; ось эллипса, на которой лежит его фокус, называется фокальной осью.