8. ОпределЕние передаточной функции разомкнутой и замкнутой скорректированной системы, построение лфчх скорректированной системы

Передаточная функция разомкнутой скорректированной системы может быть записана следующим образом:

.

.

Положим:

.

Тогда

.

Передаточная функция замкнутой системы:

.

Тогда,

.

Произведем перемножение в знаменателе и найдем характеристический полином D(jω).

.

Подставляем Т_у = 0,015 с; Т_а = 15,8 с; Т_b = 0,0072 с; τ₁ = 1 с; k_н = 136.

.

.

Подставим p = jω.

9. Построение лфчх скорректированной системы

Логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ) скорректированной САУ строится вместе с ЛАЧХ на основе передаточной функции разомкнутой скорректированной системы:

.

ЛФЧХ строится в градусах.

10. Определение переходной функции скорректрованной системы

Синтез САУ, проведенный приближенными методами на основе логарифмических амплитудно-фазовых характеристик, завершают выяснением свойств скорректированной системы, установлением соответствия между фактическим перерегулированием и временем регулирования и их заданными величинами. С этой целью методом трапеций на основе вещественной части частотной характеристики замкнутой системы от частоты определяют переходную функцию замкнутой системы, т.е. ее реакцию на единичное воздействие со стороны задатчика.

Для определения числовых значений показателей переходного процесса необходимо иметь его кривую, которую можно получить экспериментально в результате моделирования и расчета. В последнем случае используют методы, основанные на решении дифференциальных уравнений и частотный метод.

Методы решения дифференциальных уравнений (классический и операционный) достаточно трудоемки, поэтому в инженерной практике широко используют частотный метод. Кривую переходного процесса при этом строят по известным частотным характеристикам системы.

Частотный метод построения переходного процесса основывается на количественной связи между временными и частотными характеристиками, которую можно выразить формулой

,

где P(ω) - вещественная частотная характеристика замкнутой системы.

Поскольку функция P(ω) является сложной дробно-рациональной, то интеграл трудно вычислить. Поэтому функцию P(ω) получают в виде графика с использованием P-номограммы (см. рис. 15) на основании ЛАЧХ и ЛФЧХ. Эти номограммы построены на плоскости, по оси абсцисс которой отложены значения φ, а по оси ординат .

Номограммы представляют собой семейство линий равных значений P(ω). Для определения величины P(ω) откладываются известные значения и L(ω_i)и φ(ω_i)находится точка на плоскости с этими координатами. Индекс кривой Р = соnst, проходящей через эту точку, равен искомому значению P(ω_i). Если полученная точка не находится на кривых, то выполняют интерполяцию. При L(ω)>28 дБ P(ω) ≈ 1, а при L(ω)< -28 дБ P(ω) ≈ 0.

По известному графику P(ω) можно получить переходную функцию h(t) (рис. 16, а) по предложенному В. В. Солодовниковым приближенному графо-аналитическому методу построения кривой переходного процесса. Суть метода состоит в том, что график P(ω) разбивает на типовые трапеции. Затем для каждой трапеции на основании заранее составленных таблиц h-функции, строят график переходной функции. Искомую переходную функцию находят алгебраическим суммированием ординат отдельных составляющих.

Рис. 15. Номограмма для определения вещественной частотной характеристики замкнутой системы

Таблица h-функции (Прил. 3) составлена для единичной трапеции, которая характеризуется коэффициентом наклона (рис. 16, б). Такая таблица позволяет для заданного значения χ построить график переходной характеристики h(τ) в функции относительного времени , где t — текущее время переходного процесса.

Переходную функцию h(t) удобно строить в такой последовательности:

Рис. 16. Переходная характеристика, построенная по вещественной частотной характеристике системы

1. найти передаточную функцию разомкнутой системы W(p) по структурной схеме или соответствующему дифференциальному уравнению;

2. по передаточной функции W(p) построить логарифмические амплитудную L(ω) и фазовую φ(ω) частотные характеристики;

3. по значениям L(ω) и φ(ω) с использованием P- номограммы (см. рис. 15) определить значения и построить график вещественной характеристики P(ω) замкнутой системы (см. рис. 16, а);

4. характеристику P(ω) разбить на трапеции. Для этого действительную характеристику P(ω) заменить приближенно прямолинейными отрезками и концы каждого отрезка соединить с осью ординат прямыми, параллельными оси абсцисс. Более тщательно необходимо аппроксимировать характеристику при низких частотах. Ее конечную часть с ординатами менее 0,1P(0) можно не принимать во внимание. Характеристика P(ω) аппроксимирована прямолинейными отрезками аб, бв, гд, дж, ик, кл и лм (см. рис. 16, а). Концы каждого из этих отрезков соединены с осью ординат прямыми, параллельными оси абсцисс. При этом имеется шесть геометрических фигур: абв, вгде, еджз, зжий, йклм, млн0;

5. определить параметры трапеций. Для каждой i-й трапеции по графику найти частоты ω_аi и ω_пi высоту P_i. По значениям ω_аi и ω_пi определить коэффициенты наклона . Величину P_i считать положительной, если меньшая параллельная сторона трапеции расположена выше большей, и отрицательной в противоположном случае. Сумма высот всех трапеций равна P(0). Параметры ω_аi, ω_пi, χ_i, P_i каждой трапеции занести в таблицу. Для трапеций абв и вгде параметры приведены ниже.

абв¹

вгде²

абв

вгде

6. определить составляющие переходной характеристики. В таблице h-функций (см. прил. 3) для каждой i-й трапеции найти столбец, соответствующий значению χ_i. Затем для ряда значений условного времени τ определить соответствующие им значения h(τ). По значениям τ и h(τ) вычислить значения текущего времени переходного процесса t и составляющей h_i переходной характеристики:

t = τ/ω_пi;

h_i = P_i h(τ)

7. построить графики составляющих h_i(t) переходной характеристики (рис. 16, в). Все составляющие располагаются на одном графике, знак каждой из них определяется знаком высоты соответствующей трапеции;

8. построить график переходной характеристики h(t). Ординаты h(t) (см. рис. 16, в) определить суммированием ординат всех составляющих в фиксированные моменты времени.