Линейные ду 1−ого порядка

• Если в записи ДУ искомая функция и её производная находятся в первых степенях, то ДУ называется линейным.

− линейное однородное ДУ;

− линейное неоднородное ДУ;

−уравнение Бернулли;

Алгоритм решения:

	Если
Решим соответствующее ЛОДУ − − ДУ с разделяющимися переменными:	Для соответствующего ЛОДУ составим характеристическое уравнение: . Решение записывают в виде:
Частное решение исходного ДУ будем искать методом вариации константы общего решения ЛОДУ, где сonst С заменим на функцию : Подставим в исходное уравнение и получим ДУ с разделяющимися переменными. Проинтегрировав, получим и, соответственно, (пренебрегая константой интегрирования
Общее решение исходного ДУ составим по формуле:

Дифференциальные уравнения 2−ого порядка Первоначальные понятия

• Функция называется общим решением ДУ , если:

1. : Функция является решением ду ;

2. Каковы бы не были начальные условия , существует единственный набор значений , такой, что функция удовлетворяет заданным начальным условиям.

• Частным решением ДУ 2-ого порядка называется любая функция , полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных , .

Простейшие ДУ 2−ого порядка

	Последовательно проинтегрируем данное уравнение дважды по и получим общее решение ДУ.
ДУ не содержит у: или	Введем замену , где и получим ДУ 1-ого порядка. Решив его, т.е. найдя функцию , решим уравнение .
ДУ не содержит х: или	Введем замену , где и получим ДУ 1-ого порядка. Решив его, т.е. найдя функцию , решим уравнение .

Дополнительные сведения

• Функция называется линейной комбинацией функций , …, , если существуют числа , .. , , для которых справедливо равенство:

• Функции , , … , называются ЛЗ на интервале , если для их нулевой линейной комбинации: (*)

существуют числа , …, , одновременно неравные нулю.

Учитывая равенство (*), справедливо: , − ЛЗ .

• Функции , , … , называются ЛНЗ на интервале , если их нулевая линейная комбинация: возможна только тогда, когда все числа , .. , одновременно равны нулю.

• Определителем Вронского (Вронскианом) называется определитель, составленный из функций и их производных:

, , …

Линейные ду 2−ого порядка

− линейное неоднородное ДУ.

− линейное однородное ДУ.

Замечание. Если , то ДУ называется линейным с постоянными коэффициентами.

Ι. Линейное однородное ДУ 2−ого порядка

• Фундаментальная система решений ЛОДУ 2-ого порядка это совокупность любых двух ЛНЗ частных решений , данного уравнения.

Линейное однородное ДУ 2−ого порядка

с постоянными коэффициентами (**)

Уравнение − есть характеристическое уравнение исходного ДУ.

если корни действительны и	если корни действительны и	если корни − −комплексные числа
то общее решение исходного ДУ имеет вид:	то общее решение исходного ДУ имеет вид:	то общее решение исходного ДУ имеет вид:

Линейное неоднородное ДУ 2−ого порядка

Линейное неоднородное ДУ 2−ого порядка

с постоянными коэффициентами

Если − специального вида
1.	, где r – число корней характеристического уравнения В частности: ; ; и т.д.
2.	, где r – число корней характеристического уравнения
3.	, где r – число корней характеристического уравнения
4.	, где r – число корней характеристического уравнения