2.2.4. Арифметические операции над числами в позиционных системах счисления
Арифметические действия над числами (сложение, вычитание, умножение и деление) в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию q системы счисления.
Сложение и умножение двоичных чисел производится по правилам, приведенным в табл. 2.1 и 2.2.
Таблица 2.1
Таблица сложения в двоичной системе счисления
+ |
0 |
1 |
0 |
0(2) |
1(2) |
1 |
1(2) |
10(2) |
Таблица 2.2
Таблица умножения в двоичной системе счисления
× |
0 |
1 |
0 |
0(2) |
0(2) |
1 |
0(2) |
1(2) |
Операции сложения и умножения производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.
Вычитание чисел в двоичной системе счисления может осуществляться двумя способами:
1) из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее, и у результата ставится соответствующий знак;
2) вычитаемое предварительно преобразуется в дополнительный код (перед преобразованием количество разрядов в числах выравнивается), после чего оба числа суммируются.
Для получения дополнительного кода отрицательного числа необходимо:
1) значения всех разрядов изменить на противоположные, т.е. все нули заменить единицами, а единицы нулями (получить обратный код исходного числа);
2) к полученному обратному коду прибавить единицу в младшем разряде.
Пример 2.5. Пусть требуется найти сумму двух двоичных чисел 10111(2) и 10110(2).
Пример 2.6. Пусть требуется найти разность двух двоичных чисел 10111(2) и 1101(2).
Первый способ.
Второй способ.
Получим дополнительный код числа 1101(2):
• добавим один нулевой разряд слева
1101(2) → 01101(2);
• заменим 0 ↔ 1
01101(2) → 10010(2);
• прибавим 1 в младшем разряде
10010(2) → 10011(2).
Найдем сумму чисел в дополнительном коде:
Игнорируем 1 в старшем разряде и получаем результат 1010(2).
2.3. Порядок выполнения работы
Данная самостоятельная работа предполагает выполнение следующих этапов:
1). Изучить методические указания к лабораторной работе.
2). Перевести заданные числа в десятичную систему счисления (задание 1 в табл. 2.1).
3). Перевести заданные десятичные числа в двоичную и шестнадцатеричную системы счисления (задание 2 в табл. 2.1).
4). Произвести арифметические операции над двоичными числами (задание 3 в табл. 2.1).
5). Оформить и защитить отчет по самостоятельной работе.
2.4. Индивидуальные варианты заданий
Таблица 2.1
Варианты задания по системам счисления
№ вар. |
Задание 1 |
Задание 2 |
Задание 3 |
1 |
1001010(2) |
860(10) |
1101100000(2) + 10110110(2) |
101101,00011(2) |
785(10) |
||
775,11(8) |
149,375(10) |
1011001001(2) – 1000111011(2) |
|
294,3(16) |
953,25(10) |
||
2 |
1111000(2) |
250(10) |
1010101(2) + 10000101(2) |
101100,01101(2) |
757(10) |
||
1233,5(8) |
914,625(10) |
1100110110(2) – 11111110(2) |
|
2B3,F4(16) |
261,78(10) |
||
3 |
1001101(2) |
759(10) |
1001101110(2) + 1101100111(2) |
100111001,01(2) |
265(10) |
||
1461,15(8) |
79,4375(10) |
1110001100(2) – 10001111(2) |
|
9D,A(16) |
240,25(10) |
||
4 |
1100000110(2) |
216(10) |
10111110(2) + 100011100(2) |
1011010,001(2) |
336(10) |
||
1537,22(8) |
741,125(10) |
1010101101(2) – 110011110(2) |
|
2D9,8(16) |
184,14(10) |
||
5 |
101000111(2) |
530(10) |
10111010(2) + 1010110100(2) |
1101010,01(2) |
265(10) |
||
1317,75(8) |
597,25(10) |
110110100(2) – 110010101(2) |
|
2F4,0C(16) |
75,57(10) |
||
6 |
110001111(2) |
945(10) |
1000011101(2) + 101000010(2) |
110101,1001(2) |
85(10) |
||
176,5(8) |
444,125(10) |
1000101110(2) – 1111111(2) |
|
3D2,04(16) |
237,73(10) |
||
7 |
10101000(2) |
287(10) |
1000110(2) + 1001101111(2) |
110000,01001(2) |
220(10) |
||
1714,2(8) |
332,187(10) |
1110001110(2) – 100001011(2) |
|
DD,3(16) |
315,21(10) |
||
8 |
101111110(2) |
485(10) |
1010100111(2) + 11000001(2) |
1010101,101(2) |
970(10) |
||
721,2(8) |
426,375(10) |
1011010101(2) – 110011001(2) |
|
3С9,8(16) |
169,93(10) |
||
9 |
1011000011(2) |
639(10) |
1000010100(2) + 1101010101(2) |
110010110,11(2) |
485(10) |
||
1046,4(8) |
581,25(10) |
1111100010(2) – 101011101(2) |
|
388,64(16) |
296,33(10) |
||
10 |
1111011011(2) |
618(10) |
1011010(2) + 1001111001(2) |
11010010,011(2) |
556(10) |
||
675,2(8) |
129,25(10) |
1111111011(2) – 100000100(2) |
|
94,4(16) |
155,45(10) |
||
11 |
1000001111(2) |
772(10) |
1100111(2) + 1010111000(2) |
101100110,11(2) |
284(10) |
||
1022,2(8) |
876,5(10) |
1101111010(2) – 100011110(2) |
|
53,9(16) |
281,86(10) |
||
12 |
1001101111(2) |
233(10) |
1101111001(2) + 1010010101(2) |
11010101,1001(2) |
243(10) |
||
1634,5(8) |
212,5(10) |
101000110(2) – 10011010(2) |
|
С2,3(16) |
58,89(10) |
||
13 |
1111100010(2) |
218(10) |
1000011111(2) + 1111100(2) |
1011001,0111(2) |
767(10) |
||
71,54(8) |
894,5(10) |
1110010111(2) – 1011100(2) |
|
18В,0С(16) |
667,125(10) |
||
14 |
101110100(2) |
898(10) |
1001000000(2) + 101010110(2) |
111010,0001(2) |
751(10) |
||
744,12(8) |
184,4(10) |
101000010(2) – 100000100(2) |
|
1ЕЕ,С(16) |
256,625(10) |
||
15 |
101001101(2) |
557(10) |
1101100001(2) + 1001101110(2) |
1011,1101(2) |
730(10) |
||
147,56(8) |
494,27(10) |
1000010101(2) – 10010100(2) |
|
1СА,3(16) |
737,256(10) |
||
16 |
111000010(2) |
192(10) |
1101110(2) + 10100100(2) |
110101,011(2) |
837(10) |
||
665,42(8) |
934,25(10) |
1001011011(2) – 101001110(2) |
|
246,18(16) |
413,562(10) |
||
17 |
10010011(2) |
575(10) |
1011110101(2) + 1010100110(2) |
101000011,01(2) |
748(10) |
||
1004,1(8) |
270,44(10) |
1100111110(2) – 1101001(2) |
|
103,8С(16) |
1005,375(10) |
||
18 |
11100001(2) |
563(10) |
1100100011(2) + 1101001111(2) |
1110010,0101(2) |
130(10) |
||
533,2(8) |
619,25(10) |
111001110(2) – 11011011(2) |
|
32,22(16) |
198,105(10) |
||
19 |
111001010(2) |
453(10) |
101110001(2) + 101111001(2) |
101010,1001(2) |
481(10) |
||
134,35(8) |
461,25(10) |
1111000010(2) – 1110000011(2) |
|
6В,А(16) |
305,188(10) |
||
20 |
1010110011(2) |
572(10) |
10001001(2) + 101101001(2) |
1010101,101(2) |
336(10) |
||
414,1(8) |
68,5(10) |
110111010(2) – 1110001(2) |
|
366,4(16) |
160,57(10) |
||
21 |
111000111(2) |
949(10) |
10111010(2) + 10010100(2) |
1001001,011(2) |
763(10) |
||
335,7(8) |
203,82(10) |
1110101010(2) – 10111001(2) |
|
14С,А(16) |
994,125(10) |
||
22 |
110001001(2) |
264(10) |
10111111(2) + 110010001(2) |
1011011,01(2) |
563(10) |
||
416,9(8) |
234,25(10) |
1000001001(2) – 111110100(2) |
|
215,7(16) |
286,162(10) |
||
23 |
10011101(2) |
179(10) |
1101110011(2) + 111000101(2) |
1111011,001(2) |
281(10) |
||
161,56(8) |
208,92(10) |
11110010(2) – 10101001(2) |
|
16Е,В4(16) |
841,375(10) |
||
24 |
101000101(2) |
744(10) |
111011000(2) + 1110111(2) |
10101,1001(2) |
554(10) |
||
177,6(8) |
120,25(10) |
100001100(2) – 10110011(2) |
|
3FA,E8(16) |
269,375(10) |
||
25 |
101111011(2) |
585(10) |
1000000101(2) + 10111101(2) |
1011,0111(2) |
686(10) |
||
742,34(8) |
87,375(10) |
1001000100(2) – 100111010(2) |
|
396,А(16) |
530,675(10) |
2.5. Содержание отчета по практической работе
1. Титульный лист
2. Цель работы
3. Перевод заданных чисел в десятичную систему
4. Перевод десятичных чисел в двоичную и шестнадцатеричную системы
5. Операции над заданными двоичными числами
6. Выводы по работе
2.6. Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
3. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
3.1. Цель работы
Целью работы является приобретение умений работы с логическими выражениями, построения таблиц истинности и логических схем.
3.2. Основные теоретические сведения
Для описания работы логических элементов используют простую алгебру логики, или булеву алгебру, называемую по имени разработавшего ее математика Д. Буля. В ее основе лежат три основных логических операции:
• логическое отрицание, или операция НЕ (инверсия);
• логическое сложение, или операция ИЛИ (дизъюнкция);
• логическое умножение, или операция И (конъюнкция).
Операция НЕ над
переменной X
записывается в виде
.
Операция ИЛИ над двумя переменными X
и Y
записывается в виде
,
а операция И – в виде
.
Фактически каждая логическая операция задает функцию своих аргументов (переменных). Поэтому можно говорить о функциях дизъюнкции, конъюнкции и инверсии. Число аргументов функции дизъюнкции и конъюнкции может быть произвольным (больше двух). Некоторая логическая функция может быть задана в алгебраической форме или в виде таблицы истинности.
Таблицей истинности называется таблица, содержащая все возможные комбинации значений входных переменных и соответствующие им значения логической функции. Для логической функции n переменных таблица истинности будет содержать 2n строк и n + 1 столбцов.
Логические элементы, реализующие основные логические функции, на принципиальных схемах изображают прямоугольником (основное поле), в верхней части которого указывают символ функции (& или 1). Входы показывают с левой стороны, а выходы – с правой. Инверсия по выходу (входу) обозначается кружком (○) в контуре прямоугольника, изображающего логический элемент.
В табл. 3.1 приведены примеры условных графических обозначений некоторых логических элементов, булево выражение реализуемой логической функции и их таблицы истинности.
Таблица 3.1
Обозначения логических элементов и таблицы истинности соответствующих им функций
Название элемента |
И |
И-НЕ |
ИЛИ |
ИЛИ-НЕ |
||
F |
|
|
|
|
||
Графическое обозначение |
|
|
|
|
||
Таблицы истин-ности |
X |
Y |
0 0 0 1 |
1 1 1 0 |
0 1 1 1 |
1 0 0 0 |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
|||||
Из этих узлов, в свою очередь, строятся интегральные микросхемы высокого уровня интеграции: микропроцессоры, модули ОЗУ, контроллеры внешних устройств и др.
Пример 3.1.
Построим для
формулы
таблицу истинности и логическую схему.
Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть 23 = 8. Количество логических операций в формуле 5, следовательно количество столбцов в таблице истинности должно быть 3 + 5 = 8.
Таблица 3.1
Таблица истинности для примера 3.1
-
A
B
C
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
Поскольку число логических операций в заданной формуле равно 5, то число элементов на логической схеме также будет 5. Логическая схема для формулы будет иметь вид, показанный на рис. 3.1.
Рис. 3.1. Логическая схема для примера 3.1
Пример 3.2.
Пусть требуется по заданной логической схеме (рис. 3.2) составить логическое выражение и заполнить для него таблицу истинности.
Рис. 3.2. Логическая схема для примера 3.2
Для заданной схемы
логическое выражение будет иметь
следующий вид
.
Таблица 3.2
Таблица истинности для примера 3.2