Двухфакторная модель линейного уравнения регрессии.

Задача 10.

В таблице приводится зависимость розничного товарооборота (z, млн. р.) для различных регионов от средней численности населения (x, тыс. чел.) и среднегодового дохода (y, тыс. р.) в расчете на одного человека.

Необходимо построить уравнение регрессии, рассчитать относительную ошибку, парные коэффициенты корреляции, совокупный коэффициент корреляции, частные коэффициенты корреляции, также подсчитать частные коэффициенты эластичности, частные β коэффициенты и частные коэффициенты детерминации. Сделать вывод. Расчеты проводить в программе Excel.

Если существует зависимость переменной z от 2-ух факторных переменных, то линейное уравнение регрессии имеет следующий вид:

z^* = a*x + b*y + c

Система нормальных уравнений для многофакторной модели выглядит следующим образом:

a*x² +b*xy +c*x = xz

a*xy +b*y² +c*y = yz

a*x +b*y +c = z

В этом случае можно рассчитать три парных коэффициента корреляции:

S_{x и y} – среднее квадратическое отклонение по х и y.

Существуют формула для расчета a, b, c:

Существует совокупный коэффициент корреляции R для измерения тесноты связи между изменениями величины результирующего признака «z» и изменениями значений факторных признаков «х» и «y».

Изменяется в пределах от 0 до 1.

Кроме совокупного коэффициента корреляции существуют частные, которые показывают влияние отдельных факторов на исследуемую величину:

Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности , которые в случае линейной двухфакторной модели рассчитываются по формулам:

Существуют еще и частные β- коэффициенты:

Также рассчитываются частные коэффициенты детерминации, которые показывают долю вариации результативного признака под действием одного из факторов при неизменном значении другого фактора:

r²_xz(y) и r²_yz(x)

№	z	x	y	z*x	y*z	x*y	(Xi-Xср)кв	(Yi-Yср)кв	(Zi-Zср)кв	Z*	|(Zi-Z*)/Zi|
1	3060	2800	1760	8568000	5385600	4928000	917241,5294	152029,0992	1745761,62	3153,6187	0,030594
2	1202	1453	1353	1746506	1626306	1965909	151533,256	292,0991736	288076,1653	1324,9985	0,102328
3	1540	2024	956	3116960	1472240	1934944	33024,80175	171471,281	39492,52893	1450,1851	0,058321
4	1170	1590	1005	1860300	1175850	1597950	63641,52893	133291,3719	323450,7107	1066,5864	0,088388
5	870	1345	1048	1170150	911760	1409560	247280,1653	103742,5537	754687,0744	867,54409	0,002823
6	748	1133	1041	847484	778668	1179453	503067,8017	108300,8264	981540,5289	644,85899	0,137889
7	1176	1480	983	1740480	1156008	1454840	131241,5289	149839,3719	316661,9835	930,07995	0,209116
8	3725	2540	2213	9461500	8243425	5621020	486823,3471	710495,7355	3945279,347	3407,2975	0,085289
9	2258	1485	2240	3353130	5057920	3326400	127643,8017	756741,8264	269644,1653	2369,6930	0,049465
10	2571	3005	1220	7725855	3136620	3666100	1351934,711	22527,28099	692677,8926	2744,9518	0,067659
11	806	1410	1252	1136460	1009112	1765320	186859,7107	13945,46281	869980,1653	1166,1855	0,44688
Сумма	19126	20265	15071	40726825	29953509	28849496	4200292,182	2322676,909	10227252,18	19126	1,278753
Средн. знач.	1738,727	1842,272	1370,090	3702438,64	2723046,27	2622681,45	381844,7438	211152,4463	929750,1983	1738,727	0,11625

Задача № 9.22, таблица 9.37

(X*Y)cp	Xср*Yср	(X*Z)ср	Хср*Zcp	(Y*Z)ср	Ycp*Zcp		Sz	Sx	Sy
2622681,45	2524081,116	3702438,6	3203209,83	2723046,27	2382214,43		964,2355513	617,9358736	459,5132711
rxy	rxz	ryz	rxy в кв	rxz в кв	ryz в кв		Еотнос		R
0,34724575	0,837863139	0,7692349	0,12057961	0,70201464	0,59172229		11,62503099		0,980888638
a	b	c
1,01271867	1,141248626	-1690,591
rxz(y)	ryz(x)		Эxz(y)	Эyz(x)		βxz(y)	βyz(x)
0,95250993	0,934320736		1,07302854	0,89928673		0,649006557	0,543870104
rxz(y) в кв	ryz(x) в кв
0,90727518	0,872955238

В ходе лабораторной работы были вычислены следующие показатели: уравнение регрессии, парные коэффициенты корреляции, совокупный коэффициент корреляции, частные коэффициенты корреляции, а также частные коэффициенты эластичности, частные β- коэффициенты и частные коэффициенты детерминации. В ходе работы оценивалась зависимость розничного товарооборота для различных регионов от средней численности населения и среднегодового дохода в расчёте на одного человека.

Совокупный коэффициент корреляции по своему значению приближается к 1, можно сказать, что связь приближается к функциональной. Частные коэффициенты корреляции показывают влияние отдельных факторов на исследуемую величину. Оба коэффициента не сильно различаются по своему значению и больше 0,9, что говорит о прямой и довольно сильной связи между товарооборотом и средней численностью населения, а также между товарооборотом и средним доходом. Частные коэффициенты эластичности показали, что товарооборот увеличится примерно на 107% при изменении средней численности на 1%, а также товарооборот увеличился на 89% при изменении среднего дохода на 1%. Частные β- коэффициенты показывают, на какую долю своего среднего квадратического отклонения изменится в среднем результативный признак при изменении одного из факторных на величину его среднего квадратического отклонения и неизменном значении других факторов. Товарооборот изменится на 0,649 в зависимости от средней численности населения и на 0,543 в зависимости от среднего дохода. Частные коэффициенты детерминации показывают долю вариации результативного признака под действием одного из факторных при неизменном значении другого. Следовательно, доля вариации товарооборота под действием средней численности населения 0,9, а под действием среднего дохода 0,87. Относительная ошибка равна 11,625 % , а это говорит, что уровень точности не так уж удовлетворителен, возможно, необходимо было брать другую модель.