5.4 Понятие малой выборки

При большом числе единиц выборочной совокупности (n >100) распределение случайных ошибок выборочной средней в соответствии с теоремой А.М. Ляпунова нормально или приближается к нормальному по мере увеличения числа наблюдений. Однако в практике статистического исследования в условиях рыночной экономики все чаще приходится сталкиваться с малыми выборками.

Малой выборкой называется такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 30. Разработка теории малой выборки была начата английским статистиком В.С. Госсетом (печатавшимся под псевдонимом Стьюдент). Он доказал, что оценка расхождения между средней малой выборки и генеральной средней имеет особый закон распределения.

При оценке результатов малой выборки величина генеральной совокупности уже не используется. Для определения возможных пределов ошибки пользуются распределением Стьюдента или критерием Стьюдента, определяемым по формуле (5.17):

, (5.17)

где — - средняя ошибка малой выборки.

Величина σ вычисляется на основе данных выборочного наблюдения. Она равна (5.18):

. (5.18)

При определении доверительных интервалов исследуемого показателя в генеральной совокупности или при нахождении вероятности допуска той или иной ошибки необходимо использовать таблицы вероятности Стьюдента, где р = S (t, n), при этом Р определяется в зависимости от объема выборки и t.

Общий пример 1.

Алгоритм расчета параметров выборочного наблюдения рассмотрим на примере, исходные данные которого приведены в таблице 5.4. Промежуточные результаты расчета приведены в таблице 5.5.

Таблица 5.4 - Результаты выборочного исследования жилищных условий жителей города

Общая (полезная) площадь жилищ, приходящаяся на 1 человека, м^2	До 5,0	5,0—10,0	10,0—15,0	15,0—20,0	20,0—25,0	25,0—30,0	30,0 и более
Число жителей	8	95	204	270	210	130	83

Таблица 5.5 - Промежуточные расчеты

Общая (полезная) площадь жилищ, приходящаяся на 1 человека, м^2	Число жителей, f	Середина интервала,
До 5,0	8	2,5	20,0	50,0
5,0—10,0	95	7,5	712,5	5343,75
10,0—15,0	204	12,5	2550,0	31875,0
15,0—20,0	270	17,5	4725,0	82687,5
20,0—25,0	210	22,5	4725,0	106321,5
25,0—30,0	130	27,5	3575,0	98312,5
30,0 и более	83	32,5	2697,5	87668,75
Итого	1000		19 005,0	412259,0

.

1. Рассчитываем дисперсию:

.

2. Рассчитываем среднеквадратическое отклонение:

.

3. Определяем среднюю ошибку выборки:

.

4. Рассчитываем предельную ошибку выборки с вероятностью 0,954 (коэффициент доверия t = 2):

.

5. Определяем границы изменения генеральной средней:

.

Вывод. На основании проведенного выборочного исследования с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний размер общей (полезной) площади, приходящейся на одного человека, в целом по городу находится в пределах от 18,5 до 19,5 м².

Общий пример 2.

Для определения средней длины детали следует провести исследование методом случайного повторного отбора. Какое количество деталей необходимо отобрать, чтобы ошибка выборки не превышала 3 мм с вероятностью 0,997 при среднем квадратическом отклонении 6 мм? Ошибка и среднее квадратическое отклонение заданы, исходя из технических условий.

При Р = 0,997 → t = 3. Тогда n = (3²×6²) / 3² = 36 деталей.