- •Часть 3
- •Содержание
- •Введение
- •Численные методы решения задачи Коши
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет
- •Варианты
- •Лабораторная работа № 18 «Решение задач эллиптического типа» Элементы теории
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты
- •Вид рабочего листа Расчет
- •Вид рабочего листа Динамика
- •Вид диаграммы на рабочем листе Расчет для задачи б)
- •Заключение
- •Литература
- •Часть 3
Варианты
Найти решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике с шагом разностной сетки по обоим координатным направлениям 0,1:
1. a = 1,2; b = 1,0; f(x1 , x2 ) = 500 x1 x2 ; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
2. a = 1,1; b = 1,0; f(x1 , x2 ) = 500(x1 + x2 ) ; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
3. a = 1,4; b = 1,0; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
4. a = 1,5; b = 1,0; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
5. a = 1,2; b = 1,1; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
6. a = 1,2; b = 1,2; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
7. a = 1,2; b = 1,3; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
8. a = 1,2; b = 1,4; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
9. a = 1,2; b = 1,5; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
10. a = 1,1; b = 1,5; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
11. a = 1,2; b = 1,4; f(x1 , x2 ) =4; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
12. a = 1,3; b = 1,3; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3;
t3 = 10; t4 = 12.
13. a = 1,4; b = 1,2; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
14. a = 1,5; b = 1,1; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1;
t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
15. a = 1,1; b = 1,1; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1;
t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
16. a = 1,2; b = 1,2; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3;
t3 = 10; t4 = 12.
17. a = 1,1; b = 1,3; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3;
t3 = 10; t4 = 12.
18. a = 1,2; b = 1,4; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3;
t3 = 10; t4 = 12.
19. a = 1,1; b = 1,5; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
20. a = 1,2; b = 1,0; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
21. a = 1,4; b = 1,1; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
22. a = 1,4; b = 1,2; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
23. a = 1,5; b = 1,3; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
24. a = 1,5; b = 1,0; f(x1 , x2 ) = ; t1 = 1; t2 = 3; t3 = 10; t4 = 12.
Вид рабочего листа MS Excel
Лабораторная работа № 19
"Решение задач параболического типа"
Элементы теории
Типичным примером дифференциального уравнения в частных производных второго порядка параболического типа является уравнение теплопроводности, описывающее процесс распространения тепла в одномерном стержне 0 < x < l:
, (1)
где u = u(x, t) – температура в точке х стержня в момент t, с – теплоемкость единицы массы, - плотность, с - теплоемкость единицы длины, k - коэффициент теплопроводности, f0 – плотность тепловых источников. Если k, c, постоянны, то (1) можно записать в виде
, (2)
где - коэффициент температуропроводности. Без ограничения общности можно считать a = 1, l = 1. Действительно, вводя переменные , , , получим
.
Будем рассматривать краевую задачу (иногда говорят начально-краевую задачу) в области со смешанными краевыми условиями:
(3)
В области введем сетку
с шагами h по х и по t. Пусть - сеточная функция, принимаемая в качестве приближения искомой функции u(x, t). Аппроксимируем производную по пространственной переменной разностным выражением на временном слое :
.
Можно аппроксимировать производную по пространственной переменной разностным выражением на временном слое :
.
Рассматриваются аппроксимации, представляющие собой линейные комбинации значений при и :
.
Производную по t заменим разностным отношением:
.
Обозначим - некоторую правую часть, например . Тогда при = 0,5 дифференциальное уравнение в задаче (3) аппроксимируется следующим разностным выражением:
(4)
В качестве начальных условий задаем:
. (5)
Аппроксимацию краевых условий
(6)
выполним также, как в лабораторной работе № 17 "Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка". Тогда после алгебраических преобразований разностная схема для задачи (4)-(6) примет вид:
(7)
где (8)
, (9)
. (10)
Значения на новом слое находятся методом прогонки. вычисления продолжаются до достижения заданного момента времени Т. Рассмотренный алгоритм называется разностной схемой Кранка-Николсона.
Можно показать, что погрешность аппроксимации разностной схемы (7)-(10) имеет второй порядок по обеим переменным O(2 + h2 ).
Схема Кранка-Николсона безусловно устойчива по начальным данным на множестве непрерывных функций для полностью однородной задачи (т.е. f = a1 = b1 = A = B = 0, a0 = b0 = 1) . Но опыт расчетов показывает, что на сеточных начальных и граничных условия, а так же правых частях с большими градиентами эволюционное решение может осcцилировать и даже становится бесконечным. Это означает, что для конкретных задач существует ограничение на шаг по времени при фиксированном шаге пространственной переменной. Данное ограничение выясняется эмпирическим путем в результате тестовых расчетов.
Рассмотрим разные формы граничных условий:
1. Если на границе х=с задана температура Tc , то граничное условие в точке имеет вид: u(c) = Tc .
2. Если на границе х=с задан тепловой поток qc , то граничное условие в точке имеет вид: u(c) = qc .
3. Если на границе х=с задано условие u(c) = 0, то это означает, что данная граница теплоизолирована.
4. Если температура окружающей среды равна T0 , то условие теплообмена с окружающей средой имеет вид: u(c) = (Т - T0 ), где - коэффициент теплопроводности.