- •Часть 3
- •Содержание
- •Введение
- •Численные методы решения задачи Коши
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет.
- •Варианты
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Типовой отчет
- •Варианты
- •Лабораторная работа № 18 «Решение задач эллиптического типа» Элементы теории
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты
- •Порядок выполнения лабораторной работы.
- •Варианты
- •Вид рабочего листа Расчет
- •Вид рабочего листа Динамика
- •Вид диаграммы на рабочем листе Расчет для задачи б)
- •Заключение
- •Литература
- •Часть 3
Типовой отчет.
Задание 1. Найти решение задачи Коши для системы двух обыкновенных дифференциального уравнений первого порядка:
с начальными условиями y(1) = 0, z(1) = 2 на отрезке x [1; 2] на сетке с числом шагов m = 5 и m = 10, оценить по правилу Рунге точность расчетов и сравнить с точным решением .
Используется следующий алгоритм решения системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта четвертого порядка:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом 0,1 производим с помощью приближенного правила Рунге, учитывая, что используемый метод имеет четвертый порядок точности:
.
Результаты расчетов приведены в таблице (см. рисунок).
Задание 2. Задачу Коши для дифференциального уравнения
преобразовать к задаче Коши для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка и решить с помощью разработанного расчетного листа, внеся в него соответствующие изменения. Точное решение .
Преобразуем уравнение к задаче Коши для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка, используя обозначения предыдущего примера:
y(0) = 1, z(0) = 0.
Точное значение функции z получено дифференцированием функции у: .
Решение выполняется потому же алгоритму, что и в первом задании.
Результаты расчетов приведены в таблице (см. рисунок).
Варианты
Задание 1. Найти решение задачи Коши для системы двух обыкновенных дифференциального уравнений первого порядка с заданными начальными условиями y(х0 ) = у0 , z(x0 ) = z0 на отрезке x [a; b] на сетке с числом шагов m = 5 и m = 10, оценить по правилу Рунге точность расчетов и сравнить с точным решением .
1. |
|
2. |
|
3. |
|
4. |
|
5. |
|
6. |
|
7. |
|
8. |
|
9. |
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
Задание 2. Задачу Коши для данного дифференциального уравнения второго порядка преобразовать к задаче Коши для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка. Найти решение системы классическим методом Рунге-Кутта на сетке отрезка [a, b] с шагами h = 0,2 и h/2 = 0,1. Оценить погрешность численного решения по правилу Рунге. Сравнить численное решение с известным аналитическим решением.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6.
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
Вид рабочего листа Excel
Лабораторная работа № 17
"Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка"
Элементы теории
Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка формулируется следующим образом. Требуется найти функцию y=y(x), которая внутри отрезка [a, b] удовлетворяет уравнению
, (1)
а на концах отрезка – краевым условиям:
(2)
П усть краевые условия имеют вид: у(а) = А, у(b) = B. Тогда геометрически решение уравнения (1) представляет собой интегральную кривую y=y(x), проходящую через заданные точки M(a, A) и N(b, B).
Пусть теперь для уравнения (1) известны значения производных искомой функции в граничных точках у (а) = А1 , у (b) = B1 . Тогда геометрически решение уравнения (1) представляет собой интегральную кривую y=с, которая пересекает прямые x = a и y = b соответственно под углами = arctg A1 и = arctg B1 .
Е сли для уравнения (1) в одной граничной точке известно значение искомой функции у(а) = А, а в другой – значение производной функции у (b) = B1 , то такая краевая задача называется смешанной. Геометрически решение уравнения (1) означает, что надо найти интегральную кривую y=y(x), которая проходит через точку M(a, A) и пересекает прямую и y = b под углом = arctg B1 .
Если дифференциальное уравнение и краевые условия линейны, то такая задача называется линейной. В этом случае дифференциальное уравнение и краевые условия имеют вид:
(3)
(4)
где p(x),
q(x),
g(x)
– известные непрерывные функции на
отрезке [a,
b]
функции, a0
,
a1
,
b0
,
b1
,
A,
B
– заданные постоянные, причем
,
.
Если f(x)
= 0 при a
x
b,
то уравнение называется однородным, а
в противном случае – неоднородным. Если
А = В = 0,
то соответствующее краевое условие
называется однороднымаевое
условим, а в противном случае - неоднородным.
точках
К задаче (3)-(4) могут быть сведены некоторые задачи стационарной теплопроводности и диффузии..
Рассмотрим краевую задачу (3)-(4). Пусть x0 = a, xn = b, xi = x0 + ih, i = 1, 2, … , n-1 – система равноотстоящих узлов с некоторым шагом h = (b – a)/n и pi=p(xi), qi=q(xi), gi=g(xi). Полученные в результате расчета приближенные значения искомой функции у(х) и ее производных у(х), у(х) в узлах xi обозначим соответственно yi , . Аппроксимируем производные во внутренних узлах сетки со вторым порядком точности:
, (5)
а для концевых точек x0 = a, xn = b – с первым порядком:
. (6)
Подставляя аппроксимации (5)-(6) в краевую задачу (3)-(4), после преобразований получим:
(7)
(8)
Полученная разностная схема имеет в общем случае первый порядок аппроксимации из-за необходимости использовать формулы (6) в краевых точках. Но если используются краевые условия первого типа (a1 = 0 и b1 =0), то аппроксимации (6) в разностной схеме (7)-(8) не участвуют и порядок точности повышается до второго.
Введем обозначения:
(9)
. (10)
Тогда разностная схема (7)-(8) переходит в приведенную форму:
(11)
Система (11) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей размера (N-1) (N-1):
Для решения краевой задачи (11) можно использовать вариант метода исключения, называемый методом прогонки. Предполагается, что имеет место соотношение:
(12)
Для определения неизвестных коэффициентов i+1 и i+1 соотношение (12) подставляется в систему (11) и из сравнения сомножителей при одинаковых значениях функции yi получают необходимые выражения.
Алгоритм метода состоит из двух шагов:
а) в прямой прогонке вычисляются значения коэффициентов i+1 и i+1 :
(13)
(14)
(15)
(16)
б) в обратной прогонке вычисляются искомые значения функции yi :
(17)
(18)
Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом h/2, в точке xi [a, b] производят с помощью приближенного равенства - правила Рунге:
, (19)
где р – порядок точности численного метода. Таким образом, оценка полученного результата по формуле (19) вынуждает проводить вычисления дважды: один раз с шагом h, другой – с шагом h/2. Порядок точности р = 1 для краевой задачи с краевыми условиями 2-го и 3-го типов и р = 2 для краевой задачи с краевыми условиями 1-го типа.