Порядок выполнения лабораторной работы.
Пример. Численно решить уравнение колебаний струны длиной l = 1 c шагом h = 0,05 на m=200 временных шагов:
при следующих исходных данных:
;
1. Решим задачу а).
Введем исходные данные для расчета: а2
- ячейка
В3="1",
h
- ячейка
В5="0,05",
вычисляем шаг по времени
- ячейка
В4="B5/2/КОРЕНЬ(B3)",
вычисляем параметр
по формуле (8) – ячейка В6="B3*B4^2/B5^2".
При выборе шага по времени необходимо
учитывать, что условие (17) Куранта
выполняется на гладких решениях, поэтому
при вычислениях необходимо выбирать
более мелкий шаг, чем разрешенный по
условию (17) В частности, в приведенном
примере в ячейке B4
использована
формула
,
то есть выбран шаг по временной координате
в 2 раза меньший, чем разрешенный условием
Куранта.
В процессе вычислений необходимо определение правой части уравнения, краевых и начальных условий. Так как разработанный алгоритм необходимо применять несколько раз для различных исходных данных, то целесообразно эти величины вычислять с помощью функций пользователя, написанных в виде макросов в среде Visual Basic for Applications (VBA). Для этого войдем в редактор VBA через главное меню MS Excel – Сервис-Макрос-Редактор Visual Basic. В раскрывшемся окне через главное меню вставить новый модуль – Insert-Module (Вставка-Модуль). Ввести макрос следующего содержания:
Const pi = 3.1415926
Function f(x, t)
f = 0
End Function
Function fi(x)
fi = 0.7 * Sin(pi * x)
End Function
Function ksi(x)
ksi = 2 * x ^ 2
End Function
Function un(t)
un = 0
End Function
Function uk(t)
uk = 0
End Function
В первой инструкции вводится именованная переменная, определяющая число . Пользовательские функции макроса определяют заданные исходные данные: функция f(x, t) – правую часть дифференциального уравнения, функция fi(x) – начальное перемещение (х), функция ksi(x) – начальную скорость (х), функция un(t) – краевое условие для левой границы струны un(t) , функция uk(t) - краевое условие для правой границы струны uk(t) .
В строке 8 задаем координаты узлов разностной сетки по координате х: ячейка В8="0", ячейка С8="=B8+$B$5" и протягиваем формулу до ячейки V8. В столбце А задаем координаты узлов разностной сетки по координате t: ячейка А9="0", ячейка А10="=A9+$B$4" и протягиваем формулу до ячейки А209.
В столбце В задаем краевое условие для левой границы струны un(t): ячейка В9="=un(A9)" и протягиваем формулу до ячейки В209. В столбце V задаем краевое условие для правой границы струны uk(t): ячейка V9="=uk(A9)" и протягиваем формулу до ячейки V209.
В строке 9 задаем начальное перемещение (х): ячейка С9="=fi(C8)" и протягиваем формулу до ячейки U9. В строке 10 вычисляем по формуле (15) распределение перемещений струны на первом временном слое: ячейка С10= "=C9+$B$4*ksi(C8)" и протягиваем формулу до ячейки U10. Вычисляем распределение перемещений на остальных временных слоях по формуле (9): ячейка С11="=-C9+$B$6*B10+(2-2*$B$6)*C10+$B$6*D10+ $B$4^2 *f(C$8;$A11)" и протягиваем формулу на диапазон C9:U209. Следует обратить внимание на правильную абсолютную адресацию ячеек C$8 и $A11. В полученной таблице содержится решение задачи.
Представим решение задачи в виде диаграммы, выбрав в качестве Значений Х диапазон B8:V8, а в качестве Значений Y для 4-х рядов данных распределения перемещений струны в 4 момента времени, распределенные по исследуемому интервалу времени примерно одинаково, начиная с начального момента времени. В рассматриваемом примере выбраны диапазоны B9:V9, B69:V69, B129:V129, B189:V189, соответствующие моментам времени 0; 1,5; 3; 4,5. Выбирается тип диаграммы "Точечная", вид "Точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями без маркеров" с соответствующим форматированием. Вид рабочего листа Расчет приведен на рисунке.
Для отображения динамики колебания струны используем новый рабочий лист Динамика, в ячейку которого А1 скопируем диапазон B8:V9 рабочего листа Расчет. По этим данным построим Точечную диаграмму со значениями, соединенными сглаживающими линиями без маркеров с соответствующим форматированием. В частности параметры осей целесообразно выбрать такими же, как и у диаграммы на рабочем листе Расчет. Таким образом, построено распределение перемещений в начальный момент времени. Для динамичного отражения распределения перемещений в другие моменты времени разместим на рабочем листе Динамика элемент управления Кнопка, для которой напишем следующий макрос обработки события Click (Щелчок):
Private Sub CommandButton1_Click()
Dim R As Object
Dim D As Object
Set R = Worksheets("Расчет").Range("B9:V209")
Set D = Worksheets("Динамика").Range("A2:U2")
For i = 1 To 201
For j = 1 To 21
D(1, j) = R(i, j)
Next j
Start = Timer
Do While Timer < Start + 0.2
Loop
Worksheets("Динамика").Calculate
Next i
End Sub
В макросе по аналогии с предыдущими лабораторными работами вводятся объектовые переменные, предназначенные для копирования распределения перемещений на текущем временном слое из рабочего листа Расчет в диапазон Значения Y диаграммы на рабочем листе Динамика. Используется цикл Do While … Loop для организации задержки между кадрами. Вид рабочего листа Динамика для одного из промежуточных временных слоев приведен на рисунке.
2. Решим задачу б) В разработанном в п.1 алгоритме расчета для решения задачи достаточно исправить формулы в пользовательских функциях. В данном случае макрос пользовательских функций имеет вид:
Const pi = 3.1415926
Function f(x, t)
f = 0
End Function
Function fi(x)
fi = 0
End Function
Function ksi(x)
ksi = 0
End Function
Function un(t)
un = 0.3 * Sin(10 * pi * t)
End Function
Function uk(t)
uk = 0.1 * Sin(5 * pi * t)
End Function
После корректировки макроса надо щелкнуть на элемент управления Кнопка на рабочем листе Динамика и наблюдать колебания струны. На рабочем листе Расчет на диаграмме выведены начальное и промежуточные положения струны в заданные моменты времени. Вид диаграммы приведен на рисунке.
Отчет по лабораторной работе должен содержать тексты макросов, распечатки рабочих листов с диаграммами.