1.Определение производной.

Определение 1.1

Пусть функция f ( x ) определена в некоторой окрестности точки x₀ и пусть x - произвольная точка этой окрестности. Если отношение имеет предел при x → x₀. ,то этот предел называется производной функции f в точке x₀ и обозначается f (x₀ ) :

(1.1)

Если ввести обозначение ,то определение (1.1)запишется в виде:

.

Полагая ,получаем ещё одну запись определения производной:

Примеры:

Используя определение, найти производную функции:

1. ( -постоянная).

Так как ∆ ,то = 0, и, таким образом, .

2.

,

= cos x.

(sin x )'= cos x.

3.Односторонние производные.

Если для некоторого значения x₀ существует один из пределов: =∞, = +∞ или = -∞, то говорят, что при x₀ существует бесконечная производная или соответственно бесконечная производная определенного знака, равная +∞ или -∞.

Определение 3.1.

Если функция определена в некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности точки x₀ и существует конечный или бесконечный предел:

( ),

то он называется соответственно конечной или бесконечной правой (левой) производной функции в точке и обозначается ₊ (x₀) (или _-( x₀)).

Из теоремы об односторонних пределах (см.5.9 в [1]) следует, что функция , определенная в некоторой окрестности точки x₀ ,имеет производную тогда и только тогда, когда ₊( x₀) и _-( x₀) существуют и ₊( x₀) = _-( x₀). В этом случае = ₊( x₀) = _-( x₀).

Пример

Функция f(x)= очевидно, непрерывна в точке x=0, но не имеет в этой точке производной.

В самом деле, при имеем , поэтому для точки

получим .

Следовательно, .

Аналогично, при имеем , поэтому для точки в этом случае получим .

Следовательно,

.

Тем самым доказано, что функция f(x)= не имеет при x=0 производной, однако в этой точке существуют как левая, так и правая производные.

Отметим ещё, что при x >0 имеет место равенство ( , а при x<0 соответственно , поэтому для любого x ≠ 0 справедлива формула .

3.Дифференцируемость функции.

Определение 3.1.

Функция , определенная в некоторой окрестности точки x₀ ∊ R, называется дифференцируемой при ,если ее приращение в этой точке, т.е. представимо в виде

, (1.2)

где –A постоянная.

Заметим что дифференциал , как и всякая линейная функция, определен для любого значения :

-∞ ∞,

в то время как приращение, естественно, можно рассматривать только для таких , для которых принадлежит области определения функции f.

Если A≠0, т. е если dy ,то дифференцируемость функции в точке x₀ означает, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение аргумента , приращение функции является линейной функцией от .

Если же A= 0, т. е dy ,то ∆y = о(∆x) при . Таким образом,

при A = 0 приращение является бесконечно малой более высокого порядка, чем , когда .

Для большей симметрии записи дифференциала приращение обозначают dx и называют его дифференциалом независимого переменного. Таким образом ,дифференциал можно записать в виде dy =Adx.

Примеры:

Найдем дифференциал функции

Решение:

В этом случае,

При главная линейная часть выражения, стоящего справа, равна 3 ; поэтому dy=3 .

Пусть f( )= . Подставив в (1.2) значения

,получим

Итак, если функция f(x) дифференцируема в точке , то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем x- вблизи она равна линейной функции; иначе говоря, в этом случае функция f в окрестности точки ведет себя «почти как линейная функция» ,причем погрешность при замене функции f этой линейной функции тем меньше, чем меньше разность ,и ,более того, отношение этой погрешности к разности ,т.е. относительная погрешность, стремится к нулю при .

Если функция f дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал является функцией двух переменных - точки и переменной dx:

.

Выясним теперь связь между дифференцируемостью в точке и существованием производной в той же точке.

Теорема 3.1.

Для того чтобы функция f была дифференцируемой в некоторой точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную;

при этом:

dy =f ( ) dx.

Доказательство необходимости

Пусть функция f дифференцируема в точке , т.е .

Тогда

Поэтому производная f ( ) существует и равна A.отсюда

dy =f ( )dx.

Доказательство достаточности

Пусть существует производная f ( ) т.е. существует предел

.

Тогда,

где и, следовательно, для ∆x ≠ 0,справедливо равенство

Итак, мы имеем равенство (1.2) при A=f ( ) .Таким образом, функция f дифференцируема в точке .

Подчеркнем, что в теореме 3.1 речь идет о конечной производной.

Таким образом, дифференцируемость функции f(x) в точке равносильна существованию в этой точке конечной производной f ( .).

Терема 3.2.

Если функция f дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство

Пусть функция f дифференцируема в точке, т.е. в этой точке имеем

Тогда

что и означает непрерывность функции f при x= .

Следствие

Если функция в некоторой точке имеем производную, то она непрерывна в этой точке .

Заметим, что утверждение, обратное, теореме 3.1,вообще говоря неверно, т.е.из непрерывности функции f в данной точке не следует ее дифференцируемость или, что равносильно, существованию производной в этой точке.