7.Условие постоянства, возрастания и убывания функций.

Теорема 7.1.

Пусть на [a,b]определена непрерывная функция f(x),имеющая на (a,b) конечную производную.

Тогда:

1)Для того чтобы f(x) была постоянной на [a,b] ,необходимо и достаточно, чтобы f '(x)=0 для всех x из (a,b).

2)для того чтобы f(x)была возрастающей (убывающей ) на [a,b]в широком смысле, необходимо и достаточно, чтобы f’(x)≥0(f’(x)≤0)для всех x из (a,b).

3)для того чтобы f(x) была возрастающей(убывающей) на [a,b] в узком смысле, достаточно выполнения условия f’(x)>0(f’(x)<0) для всех x из (a,b).

Доказательство(см.247 [3])

Замечание.

Обращаем внимание на то, что в данной теореме доказана монотонность функции f(x)в некотором промежутке [a,b] в предположении f (x)≥0(>0) или f (x)≤0(<0)внутри всего этого промежутка. Если же известно ,что f ( )>0(<0) в одной точке ,то отсюда нельзя заключить, что f(x) монотонна хотя бы в малой окрестности точки .в качестве примера рассмотрим функцию:

F(x)= .

Ее производная f’(x)= .значение f '(0) из этой формулы получить нельзя, так как при x=0 выражение теряет смысл. Найдем

f (0),исходя из определения производной:

.

Покажем, что хотя f (x)>0,тем не менее, ни в какой окрестности нуля функция не монотонна. Действительно, если взять точки, то если же взять точки :

,то,f

и попадают в любую окрестность нуля т.к и при .следовательно, производная функции меняет знак в любой окрестности нуля, что и доказывает наше утверждение. Этот факт имеет место, очевидно, из-за того, что производная f (x) в нуле имеет разрыв.

Примеры

1.Определить промежутки, на которых функция:

возрастает и убывает в строгом смысле.

Находим производную функции .

Из неравенств и получаем ,что данная функция возрастает на и убывает на .

2.Определить промежутки возрастания и убывания функции: .

Находим производную .

Поскольку при всех x, то и на всей числовой оси. Следовательно, данная функция строго возрастает на всей оси ( ).

8.Экстремумы функции. Достаточные условия экстремума в терминах первой и высших порядков.

Определение 8.1.

Функция f( x ) заданная на некотором промежутке, имеет максимум (минимум) в некоторой внутренней точке из этого промежутка ,если существует такая окрестность ( )точки ,что для всех x из этой окрестности(кроме ) справедливо неравенство

f( x )<f( ) , (f( x )>f( )).

Значение f( )в этом случае называют значением максимума (минимума)

Необходимые условия экстремума. Если точка x_о является точкой экстремума функции f( x ), то либо f ( x_о ) = 0, либо f ( x_о ) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие.

Пусть x_о - критическая точка. Если f (x) при переходе через точку x_о меняет знак плюс на минус, то в точке x_о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_о экстремума нет.

Второе достаточное условие.

Пусть функция f(x) имеет производную f ( x ) в окрестности точки x_о и вторую производную  в самой точке x_о. Если f ( x_о ) = 0, >0 ( <0), то точка x_о является точкой локального минимума (максимума) функции f( x ). Если же =0, то нужно, либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [a,b] функция y = f( x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

Пример: