22Подчеркнем, что это утверждение также включает допуще­ние: силы, действующие между частицами, являются силами притяжения.

-

Наблюдаемая Метагалактика трехмерна, а трехмерное пространство может соответство­вать космологическим постулатам лишь в трех случа­ях: если пространство характеризуется постоянной от­рицательной кривизной (пространство Лобачевского), если пространство имеет нулевую кривизну (простран­ство Евклида), если пространство характеризуется по­стоянной положительной кривизной (трехмерная сфера).

Представить на бумаге все эти трехмерные фигуры невозможно. Однако хорошим наглядным аналогом трех­мерной сферы является двумерная сфера. В даль­нейшем мы и будем пользоваться для наглядности этим образом.

Выберем далее в нашем изотропном и однородном пространстве три точки А, В и С, расположенные на малых расстояниях друг от друга.

Рассмотрим сначала две точки А и В. Вектор г_Ав является единственным выделенным направлением в нашем изотропном пространстве. Поэтому скорость Vав движения этих двух точек имеет только относи­тельный характер, причем оба вектора коллинеарны. Иначе говоря, в пространствах постоянной кривизны осуществляется равенство

Vав=Н(г, t)r_АВ, (56)

где функция H (г, t), казалось бы, зависит от обоих ар­гументов г и t. Но далее, несколько модифицируя рас­суждения Е. Милна, мы докажем, что в действитель­ности вследствие симметрических свойств пространства функция H=H(t), т. е. она не зависит от вектора г. Для этого рассмотрим точки А, В, С. Поскольку мы предпо­лагаем, что размеры области w малы, то ее можно локально описывать геометрией Евклида. Тогда справед­ливы правила векторного сложения:

Rав⁼⁼Rас+Rсв, (57)

Vав=V_ас+Vсв. (58)

Но очевидно, что равенства (57), (58) можно совме­стить с соотношением (56) лишь в случае, если Н=Н(t), т. е. зависит исключительно от времени.

В наших рассуждениях неявно предполагалось, что эволюция области w автономна; оставшаяся область V— w (V - объем всей сферы) не влияет на динамику малой области w. Однако это предположение также является следствием основных космологических постула­тов или симметрии пространств постоянной кривизны. Действительно, если выбрать малый объем в форме сфе­ры, то, допуская, что силы, действующие между части­цами, — силы притяжения, нетрудно понять (рис. 6), что любому элементу F большой сферы, действующему на микросферу, будет соответствовать элемент G, уравно­вешивающий это притяжение. Поскольку это рассужде­ние верно для любых пар элементов F и G, то это озна­чает, что объем V— w не действует на

* ⁸ ^

объем w и,

Рис. 6. Расширение изотройной сферы. Расстоя­ния от точек с до эле­мента АВ равны. Размеры этого элемента много мень­ше всего объема сферы

следовательно, эволюция последнего происходит само­стоятельно и независимо от объема V. Поэтому, рассмат­ривая эволюцию малого объема, мы моделируем эволю­цию всего объема. Итак, в пределах объема w

_Vab=H(t)Rab (59)

(60)

для любых пар точек А и В. Уравнение (59) можно пе­реписать в форме

_DRАВ/dt=H(t)R_АВ

Рассмотрим далее два случая.

1. Функция 1H(t) разлагается в ряд Тейлора в ок­рестности t==0.

2. Функция 1H(t) =сопst;, т. е. не разлагается в ряд Тейлора.

Первый случай. Пусть 1/H(t) =а₁+b₁t+.. ,(а_и постоянные). Допуская, что b_{1 =} 0 и используя трансля­ционную инвариантность времени Вселенной, т. е. со­вершая замену а₁+b₁t, b₁t получаем уравнение _DRАВ/dt= _(DRАВ/d) (Ь=1/Ь₁=соnst), решением которого является функция

(61)

R_AB t^b.

Поскольку точки А и В произвольны, то зависимость (61) отражает известную степенную зависимость мас­штабного фактора от времени в модели Фридмана. Да­лее можно, постулируя статистические свойства мате­рии в Метагалактике, определить численное значение параметра Ь, а основываясь на свойствах симметрии пространства, вывести полное решение, полученное Фридманом на основании ОТО (напомним, что зависи­мость (61) получена для малых значений времени отсчитываемого от начала расширения).

Теперь рассмотрим второй случай, когда H(t) =сопst . Он также соответствует двум различным физи­ческим картинам.

1. Н= 0. Тогда решение уравнения (60) имеет вид

R_AB e^Ht (62)

Расстояние между двумя точками очень быстро (экс­поненциально) увеличивается с ростом времени. Можно показать, что в этом случае плотность материи остается неизменной: р=соnst;(t).

Зависимость (62) была получена на заре космологии де Ситтером¹, но была отвергнута научной обществен­ностью именно из-за странной зависимости р(t). Было неясно, каким образом быстрое изменение объема си­стемы не приводит к изменению плотности. Для всех известных тогда форм материи (вещество, излучение) оба основных вывода, следующих из модели де Ситтера, противоречили друг другу. Лишь сравнительно недавно выяснилось, что существует третья форма материи — физический вакуум, который удовлетворяет обоим выво­дам, следующим из стационарной (р=соnst) модели де Ситтера.

2. Наконец, остается последний случай H = 0. Этот случай соответствует равенству г_АВ=соnst(t). Все вза­имные расстояния (так же как и другие физические ха­рактеристики) не изменяются со временем. Метагалак­тика полностью статична, что соответствует космологи­ческой модели Эйнштейна.

Таким образом, мы привели аргументы (которые при более детальном анализе можно сделать более строгими) в пользу того, что космологические постулаты о геометрии Метагалактики (Вселенной) в значитель­ной степени определяют динамику ее эволюции.