3. Методы определения деформирующих усилий и работ деформации
3.1 Общие положения
При операциях ковки и штамповки, за отдельными исключениями (вальцовка), рабочий орган машины и закреплённый на нём инструмент совершают в период деформирования прямолинейное поступательное движение. Активное усилие, которое должна развивать машина на инструменте по направлению его движения в каждый момент периода деформирования, всегда равно тому сопротивлению, которое оказывает деформируемое тело. Это активное усилие назовём деформирующей силой или деформирующим усилием. Знание деформирующего усилия, необходимого для данной операции, позволит, позволит правильно выбрать машину для её осуществления.
При операциях осадки, протяжки, прошивки, выдавливания, объёмной штамповки и др. деформирующее усилие передаётся через поверхность контакта подвижного инструмента с деформируемым телом.
Зная величину и распределение напряжений на поверхности контакта можно определить величину деформирующего усилия.
(3.1)
Решение интеграла (3.1) в принципе всегда возможно. Если нормальное напряжение σн представляет собой величину постоянную или может быть заменено его средней величиной, то в выражении (3.1) σн можно вынести за знак интеграла:
(3.2)
3.2 Основы метода расчёта усилий по приближённым уравнениям равновесия
Непреодолимые трудности точного интегрирования дифференциальных уравнений равновесия совместно с условием пластичности привели к тому, что исследователи (г, Закс, Э. Зибель, С.И. Губкин, И.М. Павлов) уже давно, с 20-30-х годов, при решении практических задач по определению деформирующих усилий вводили упрощающие предпосылки, составляли для каждого случая упрощённые уравнения равновесия и решали их совместно с условием пластичности, выраженным в главных напряжениях.
Однако вследствие отсутствия общей методики составления упрощённых уравнений и отсутствия учёта влияния упрощающих предпосылок на точность получаемых результатов иногда возникали весьма значительные ошибки. Е.П. Унксов произвёл и разработал метод составления и использования приближённых и ограниченных уравнений равновесия и пластичности, теоретически и экспериментально доказав их вполне достаточную практическую точность.
По Е.П. Унксову:
1. Задачу приводят к осесимметричной или плоской. В случае сложности формы деформируемого тела необходимо разбить его на ряд объёмов, на которые можно наложить условия осесимметричной или плоской задачи.
2. Распределение нормальных напряжений определяют только для контактной поверхности (что и требуется для вычисления удельного усилия деформирования).
3. Дифференциальные уравнения равновесия, взятые в форме и координатах, отвечающих условиям задачи, упрощают. Для этого, в частности, принимают нормальные напряжения зависимыми только от одной из координат, а зависимость касательных напряжений от соответствующей координаты обычно принимают линейной. В результате число дифференциальных уравнений равновесия сократится до одного, которое будет содержать простые производные взамен частных, как в точных уравнениях равновесия. Условия пластичности используются также приближённые.
3.3 Метод линий скольжения
Метод линий скольжения, применяемый для решений плоских (и отчасти осесимметричных) задач ведёт своё начало от работ М. Леви (1891 г.), Г.Генки и Л. Прандтля (20-е годы). Дальнейшее развитие он получил в работах А.А. Ильюшина, А.Ю. Ишлинского, С.Г. Михлина, В.В. Соколовского, С.А. Христиановича, В. Джонсона, Е. Ли, В. Прагера, Э. Томсена, Ф.Г. Ходжа, Р. Хилла. В теории процессов ковки и штамповки этим методом с успехом пользовались А.Д. Томленов, К.Н. Шевченко, Л.А. Шофман, а также Е.М. Макушок, И.П. Ренне и др.
Метод в конечном итоге выражается в построении сетки (поля) линий скольжения и использовании их свойств.
Рассмотрим построение поля линий скольжения для начала внедрения плоского пуансона в пластическое полупространство при отсутствии контактного трения.
Так как принято, что контактное трение отсутствует, то линии скольжения должны подходить к рабочей поверхности пуансона ab под углом 45 °, и участок поля линий скольжения, примыкающий к ней, представляет однородное напряжённое состояние. Проводим линии скольжения ac и bc, ограничивающие этот участок (рисунок 3.1)
Рисунок 3.1
Справа и слева от пуансона распространяется свободная поверхность, на которую линии скольжения также должны выходить под углом 45 °. Проведём под этим углом из точек a и b направления линий скольжения aa' и bb' . Точки a и b будут особыми. Проведя из этих точек окружности радиусами ac = bc, получим границы центрированных полей, которые могут соединять области однородного напряжённого состояния. Наконец, проведя под углом 45 ° к свободной поверхности прямые dd' и ee', получим границу всего поля линий скольжения для данного случая d' dсee' . Для наглядности внутри полученных областей проводим также соответствующие этим областям линии скольжения (ортогональные прямые, ортогональные радиусы и окружности), как показано на рисунке 3.1. Это поле построил Л. Прандтль.
Теперь определим удельное усилие. Линии скольжения наклонены как к плоскости торца пуансона, так и к свободной поверхности под углами 45 °. Следовательно, угол поворота линий скольжения при движении от точек свободной поверхности к точкам, расположенным на торце пуансона (например, от точки А к точке Б), равен 90 °, т.е. ωАБ = π/2. На свободной поверхности напряжение σzA = 0, напряжение σxA – сжимающее и притом главное. Следовательно, по условию пластичности 0 - σxA = 2k, и среднее напряжение σсрA = - k. Учитывая, что σсрA > σсрБ, можно написать σсрA - σсрБ = 2kωАБ, а после подстановки значения σсрA: σсрБ = -(k + 2kωАБ). Вместе с тем для точки Б: σхБ - σzБ = 2k; σхБ + σzБ / 2 = σсрБ. Исключив из этих уравнений σхБ, получим σсрБ = σzБ + k. Подставим это значение σсрБ в полученное выше выражение. Тогда σzБ = - 2(1 + ωАБ). Удельное усилие ρ = - σzБ, следовательно, ρ = 2k(1 + ωАБ), или в рассматриваемом случае ρ = 2k(1 + π/2) ≈ 2,6σ*s.
3.4 Метод баланса работ
Метод баланса работ, основанный в конечном итоге на законе сохранения энергии, давно применяли многие исследователи, в том числе, например, С.Н. Петров, Э. Зибель, А.Ф. Головин, И.Л. Перлин и ряд других.
Исходным положением этого метода, который называют также энергетическим, является следующее: при пластической деформации работа внешних сил на соответствующих им перемещениях равна работе внутренних сил: АВ = АD.
АD представляет собой работу внутренних сил, иначе говоря – работу пластической деформации. Работа АВ – это работа внешних (поверхностных) сил, включая и работу внешних сопротивлений (т.е. сил контактного трения) АТ, которая противоположна по знаку работе активных (деформирующих) сил АА. Учтя сказанное и рассматривая абсолютные значения работ, можно записать так: АА - АТ = АD.
Здесь, как и дальше, принимают условие постоянства объёма и упругую деформацию не учитывают. Следовательно, АD представляет собой работу деформации формы.
3.5 Метод сопротивлениям материалов пластическим деформациям
Метод, разработанный и успешно развиваемый Г.А. Смирновым-Аляевым и его сотрудниками, назван его автором сопротивлением материалов пластическим деформациям. Этот метод позволяет решать ряд практических задач на конечное формоизменение при обработке металлов давлением. К числу таких задач относятся определение деформирующего усилия по заданному формоизменению, определение деформации по заданной нагрузке или заданной работе внешних сил, определение формы тела на последовательных переходах по конечной его форме и др.
Метод сопротивления материалов пластическим деформациям применяет ряд оригинальных способов аналитического и экспериментального исследования. Сюда относятся микроструктурные исследования деформации металлов, определение функциональной зависимости σi - εi c аппроксимацией графика аналитическим выражением, установление критериев пластичности и начала разрушения металлов и др.
3.6 Понятие о методе верхней оценки
Метод верхней оценки применительно к плоской деформации разработали В. Джонсон и Х. Кудо. Сущность его заключается в том, что объём очага деформации представляется в виде жёстких 9недеформируемых) блоков (треугольных по В. Джонсону), скользящих один относительно другого и по границам с жёсткой зоной. Тем самым действительное поле линий скольжения заменяют полем, состоящим из системы прямолинейных отрезков, образующих треугольники. Вдоль границ блоков – сторон треугольников – компоненты скоростей перемещений претерпевают разрывы. Внутри каждого блока поле скоростей однородно, т.е. вектор скорости для всех точек данного блока один и тот же. На этом основании строят поле скоростей, которое при правильном построении всегда является кинематически возможным. Число и размеры треугольных блоков первоначально выбирают произвольно.
3.7 Понятие о визиопластическом методе
Этот экспериментально-аналитический метод, предложенный Э. Томсеном с сотрудниками, заключается в том, что при помощи координатной сетки, которую помещают на соответствующую плоскость образца, например на меридиональную или ей нормальную плоскость цилиндрического образца, экспериментальным путём устанавливают векторное поле скоростей. Плоскость, на которую наложена координатная сетка, после каждого очередного приращения деформации фотографируют и по смещению положения узлов получают картину течения металла.
Последующим анализом для точек, которые расположены достаточно близко одна к другой, можно построить зависимости компонент скоростей ủх и ủy, а затем определить и скорости деформаций. В дальнейшем, используя уравнения связи, можно определить напряжения по методике, даваемой Э. Томсеном. По мнению Э. Томсена, единственным допущением, требуемым при решениях методом визиопластичности, является установление зависимостей между напряжением и деформацией.
3.8 Краткое сопоставление различных методов
Метод составления и совместного решения приближённых уравнений равновесия и пластичности для анализа силового режима процессов обработки металла давлением является наиболее простым и наглядным. Он позволяет находить непосредственным интегрированием уравнения, выражающие распределение напряжений на контактной поверхности, и получать уравнения зависимости удельных усилий от различных факторов, играющих роль в том или ином технологическом процессе. В известной мере этот метод пригоден и для решения простейших задач по формоизменению, например по нахождению разделов течения.
Метод линий скольжения в инженерном его выражении является вполне доступным и часто позволяет находить распределение напряжений в объёме тела, решать некоторые вопросы, касающиеся формоизменения и распространения очага деформации.
Метод приближённых уравнений и метод линий скольжения не исключают друг друга, наоборот, вполне целесообразно их совместное использование.
Метод сопротивления материалов пластическим деформациям позволяет решать разнообразные задачи. В частности, его ценной особенностью является широкое использование экспериментальных данных, а также применение разнообразных вспомогательных таблиц. Метод этот, кроме того, нагляден и вполне доступен для изучения.
Этого нельзя сказать при метод баланса работ с использованием экстремальных принципов, который вместе с тем требует многочисленных математических выкладок даже при введении ряда дополнительных упрощающих предпосылок и допущений.
Таким образом, в теории обработки металлов давлением находят применение разные и отнюдь не взаимно исключающие друг друга методы анализа технологических процессов.