4. Закон сложения скоростей в релятивистской механике

Пусть относительно системы К′ материальная точка движется со скоростью u′ (Рис. 2.3.2). Найдем скорость u материальной точки относительно системы К. Проекции скоростей u и u′ на оси координат в системах К и К′ соответственно можно представить следующим образом:

, , , , , . (2.3.10)

Согласно преобразованиям Лоренца (4 – 7),

, , , . (2.3.11)

Рис. 2.3.2

Подставив выражения (2.3.11) в (2.3.10), поcле преобразований получим релятивистский закон сложения скоростей:

, (2.3.12)

, (2.3.13)

. (2.3.14)

Если скорости v и u малы по сравнению со скоростью света, то выражения (2.3.12) – (2.3.14) переходят в закон сложения скоростей в классической механике:

, , . (2.3.15)

Пусть материальная точка движется параллельно оси х .

Тогда и релятивистский закон сложения скоростей (2.3.12) принимает вид:

. (2.3.16)

Если в системе К′ , то в системе К ,

т.е. при сложении двух скоростей результирующая скорость оказалась равной скорости света в вакууме, что является подтверждением второго постулата Эйнштейна.

2.3.4.4. Интервал

Пусть в системе отсчета К происходят два события: первое – в точке с координатами x₁ , y₁ , z₁ в момент времени t_1,

второе – в точке с координатами x₂, y₂, z₂ в момент времени t₂. Каждому событию в четырехмерном пространстве-времени соответствует точка ( x,y,z,t), которую называют мировой точкой. Величину

(2.3.17)

называют интервалом между этими событиями или интервалом между двумя точками (x₁,y₁,z₁,t₁) и (x₂,y₂,z₂,t₂) в четырехмерном пространстве-времени. Можно показать, используя преобразования Лоренца, что эта величина имеет одно и то же значение во всех системах отсчета, т.е. является инвариантом преобразований Лоренца.

Обозначим промежуток времени между событиями t₂ – t₁= =t₁₂, а пространственное расстояние между точками, в кото-рых происходят события .

Тогда интервал примет вид .

Пусть первое событие состоит в том, что в момент времени t₁ из точки (x₁,y₁,z₁) испускается световой сигнал, а второе – в том, что в момент времени t₂ этот сигнал принимается в точке (x₂,y₂,z₂). Сигнал распространяется со скоростью света, поэтому l₁₂ = ct₁₂. Интервал для этого случая s₁₂ = 0. Такой интервал называется нулевым. Нулевой интервал существует между событиями, которые могут быть связаны сигналом, распространяющимся со скоростью света. При нулевом интервале события могут быть связаны между собой причинно-следственной связью в любой системе отсчета.

Если l₁₂ > ct₁₂ , то рассматриваемые события не могут оказывать влияния друг на друга, т.е. между ними не может существовать причинно-следственной связи, так как никакой сигнал, никакое воздействие не могут распространяться со скоростью большей, чем скорость света в вакууме. Интервал в этом случае будет мнимым. Мнимые интервалы называются пространственноподобными. События, разделенные мнимым интервалом, ни в какой системе отсчета не могут происходить в одной точке, так как в этом случае в этой системе отсчета интервал стал бы вещественным (l₁₂ = 0). А в силу инвариантности, интервал во всех системах отсчета должен оставаться мнимым. Для событий, разделенных пространственноподобным интервалом, можно найти систему отсчета, в которой они происходят в одно время (t₁₂=0).

Если l₁₂ < ct₁₂, то интервал оказывается вещественным. Такие интервалы называются времениподобными. События, разделенные времениподобным интервалом, могут быть причинно связанными друг с другом. Такие события ни в одной системе отсчета не могут происходить в одно и то же время (t₁₂ = 0), так как в этом случае интервал стал бы мнимым. Но для этих событий существует система отсчета, в которой они происходят в одной точке (l₁₂ = 0).