12.Теорема сложения совместных событий

Вероятность наступления двух совместных событий равна: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) – Р(АВС)

Теорема. Если АВ, то Р(А)  Р(В).

В=В₁+В₂ (В₁=А) Р(В)=Р(В₁) + Р(В₂)= Р(А) + Р(В₂)

13.Формула полной вероятности

Теорема. Пусть А1…Аn – полная группа событий, В – любое событие. Тогда P(B)=P(B/A1)P(A1)+…P(B/An)P(An); Док-во: заметим, что B=BΩ; Ω=A1+…+An, поэтому B=B(A1+…+An)=BA1+…+Ban. A1…An – несовместные между собой согласно 2му условию, т.к. BA1…Ban – часть события A1…An, то они тоже несовм. => P(B)=P(BA1+…+Ban)=

=P(BA1)+…+P(Ban)=(воспользуемся формулой для произведения)=

=P(B/A1)P(A1)+…+P(B/An)P(An). СЛЕДСТВИЕ (формула Байеса):

пусть А1…Аn – полная группа и В, P(B)>0, P(A(инд.k)/B)-?

= P(BAk)/P(B)=P(B/Ak)P(Ak)/P(B/A1)P(A1)+…+P(B/An)P(An).

Т.о. получили формулу Байеса: P(Ak/B)=P(B/Ak)P(Ak)/P(B) – формула полной вероятности.

ЗАМЕЧАНИЕ: В формулах полной вероятности и Байеса событие А1…Аn принято называть ГИПОТЕЗАМИ. Последнее связано с тем, что эти формулы используются в случайях, когда эксперимент носит двухступенчатый характер.

14.Вероятность гипотез. Формула Бейеса.

Теорема 9 (Формула Байеса).

Пусть Н₁, Н₂ …— полная группа событий и A — некоторое событие положительной вероятности. Тогда условная вероятность того, что имело место событие Н_k, если в результате эксперимента наблюдалось событие A, может быть вычислена по формуле:

P(Н_k/A)=(P(Н_k)P(A/Н_k))/P(Н_i)P(A/ Н_i)

Пример 17. Вернемся к примеру 15. Изделие выбирается наудачу из всей произведенной продукции. Рассмотрим три гипотезы: Н_i = {изделие изготовлено i-м заводом }, i = 1, 2, 3. Вероятности этих событий даны: P(Н₁) = 0,25, P(Н₂) = 0,35, P(Н₃) = 0,4 . Пусть A = {изделие оказалось бракованным }. Даны также условные вероятности P(A\Н₁) = 0,05, P(A\Н₂) = 0,03, P(A\Н₃) = 0,04

15.Формула бернулли

Схема последовательных испытаний Бернулли.

Проводится серия из n испытаний, в каждом из которых с вероятностью р может произойти событие А, с вероятностью q=1-р событие Ā.Вероятность наступления события А не зависит от числа испытаний n и результатов других испытаний.Такая схема испытаний с двумя исходами (событие А наступило либо не наступило) называется схемой последовательных испытаний Бернулли.Пусть при n испытаниях событие А наступило k раз, (n-k) раз событие Ā. C_n^k=n!/k!(n-k)!- число различных комбинаций события А

Вероятность каждой отдельной комбинации: p^kq^k-1

Вероятность того, что в серии из n испытаний событие А, вероятность которого равна р, появится k раз: P_n(k)= C_n^k p^kq^k-1;  P_n(k)= 1- условие нормировки.

Пример. Вероятность изготовления нестандартной детали равна р=0,25, q=0.75. Построить многоугольник распределения вероятностей числа нестандартных деталей среди 8 изготовленных.

N=8; p=0.25;q=0.75; P₈(k)=C₈^k*0,25^k*0,75^8-k

Если k₀ – наивероятнейшее число, то оно находится в пределах:

np-q  k₀  np+q; Если число (np+q) нецелое, то k₀ – единственное; Если число (np+q) целое, то существует 2 числа k₀.

P_n(k)/P_n(k-1)=p/q=n-k+1/k