16. Локальная теорема Лапласа

Пусть x_n=m-np/npq.Предположим, что m,n и величины x_n являются ограниченными. Тогда npq*P_n(m)^-xn²/2/2П

В частности, если x_n x, то npq*P_n(m) ^-xn²/2/2П

Доказательство:

В силу ограниченности величин x_n разность n -m, вместе с n и m Воспользуемся формулой Стирлинга

k!2Пk*(k/e)^k

npq*P_n(m)=npq*C^m_np^mq^n-m=(n! npq * p^mq^n-m)/(m!(n-m)!)1/2П*(np/m) ^m (nq/n-m) ^n-m*np/m* nq/n-m

В силу определения x_n: m=np+ x_nnpq

n-m=n-np- x_nnpq=nq- x_nnpq

m/np=1+ x_n q / np 1

n-m/nq=1- x_np/nq1

17. Интегральная теорема Лапласа.

В условиях предыдущей теоремы вероятность того, что событие А в серии из n испытаний наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз: P_n(k₁≤k≤k₂)=Ф(x₂)-Ф(x₁)

Ф(x)=1/2П₀∫^xe^-t²/2dt- функция Лапласа

x₁= k₁-np/npq; x₂= k₂-np/npq

Следствие: P_n(k-np≤)=2Ф(/npq)

np-≤k≤np+; x₁=-/npq; x₂=/npq

18. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимый испытаниях.

Производная n независимых испытаний в каждом из которых появления события А постоянно равна Р. 0<Р<1. Чтобы найти вероятность отклонения частоты m/n от постоянной Р по абсолютной величине не превышающий >0. (m/n-Р)< -≤m/n-Р≤; умножаем на n/pq -n/pq * ≤n/pq m/n-Р≤*n/pq; -n/pq * ≤ m -nР / n/pq ≤*n/pq; -n/pq * =х’; n/pq * =х’’Р(х’≤ m -nР / n/pq ≤ х’’)1/2П _х’^х’’ е^-z²dz/21/2П _{-n/pq * }^{n/pq * } е^-z²dz/22/2П ₀^{n/pq * } е^-z²dz/2=2Ф(n/pq * )^{-n/pq * }. Равна ф-ции Лапласа.

19. Случайная величина

Случайная величина – численная функция, задаваемая на множестве элементарных событий. На одном множестве может быть несколько случайных величин.

Дискретная случайная величина (ДСК) – величина, принимающая счетное (конечное или бесконечное) множество значений.

Непрерывная случайная величина (НСВ) – случайная величина, значения которой образуют несчетные множества. (Например, расход бензина на 100 км у автомобиля Жигули в Нижнем Новгороде).

Задать св – значит указать все множество ее значений и соответствующие этим значениям вероятности. Говорят, что задан закон распределения случайной величины.

Случайная величина может быть задана несколькими способами:

1.Табличный.

Х a₁ a₂ … а_n

Р p₁ p₂ … p_n

p_i=1 Значения случайных величин в таблице указываются в порядке возрастания.

Недостпаток табличного способа в том, что он пригоден только для случайных величин, принимающих небольшое количество значений.

2. Функция распределения F(x) = P(X<x) или интегральный закон распределения. Указывается вероятность того, что случайная величина принимает значение < x.

Х a₁ a₂ … а_n-1

Р p₁ p₂ … p_n-1

f(x) p₁ p₁₊p₂ … p₁₊p_2+…+p_n-1

При увеличении значения случайной величины, количество ступенек функции F(х) возрастает, уменьшается их высота и в пределе при получаем гладкую непрерывную функцию F(х).

20. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДСВ.

Случайная величина называется дискретной,если она принимает случайные изолированные значения, причем каждое значение этой СВ содержит окрестность, в которой нет других значений СВ. Причем каждое значение СВ определяется с некоторой вероятностью. Соответствие всех значений ДСВ и вероятности этих значений Х(х1,х2…) называется распределением случайной величины P(p1,p2…). ПРИМЕРЫ: 1) схема Бернули – P=e(c.m)(инд.n)p(c.n)q(c.n-m), 2) локальный закон Лапласа: P=φ(x)/√npq`. Эти 2 закона используются при 0,1<p>1 и при n∞. Если P мало, а n велико, тогда используется феноминальный закон Пуассона:

P(k)=λ(c.k)e(c.-λ)/k!, λ=np, k=0,1,2…n. Зная закон распределения ДСВ мы можем найти функцию распределения ДСВ F(x). функцию распределения СВ – вероятность того, что СВ принимает значения <x, F(x)=P(X<x).

F(x)=∑[k, x(инд.k)<X] P(X=x(инд.k).

21. Математическое ожидание (МО)

М(х) =x_ip_i  p_i=1

свойства МО:

1. М(х) СВ Х Х_minМ(х)Х_max

2. 2. М(С)=С МО постоянной величины есть величина постоянная

3. М(ХУ)=М(Х) М(У)

4. М(ХУ)=М(х) М(у)М(Сх)=СМ(х) – МО произведения двух независимых СВ

5. М(аХ+вУ)=аМ(Х)+вМ(У)

6. М(Х-m)=0 – МО СВ Х от её МО.

Дискретные Случайные Величины

1. Биноминальные СВ МО(Х)=np

2. Пуассоновские СВ МО(Х)=

3. Бернуллиевы СВ МО(Х)=р

4. Равномерно распред. СВ M(x)= (a_{1 +} a_{2 +}…+а_n)/n

Пример. Случайная величина Х, заданна функцией распределения F(x)=x².Найти МО. РЕШЕНИЕ: f(x)=2xM(x)=₀^x*f(x)dx=₀^x*2x= 2 ₀^ x²=2*(2x ₀^)

22. Дисперсия СВ

D(X)= (x_i-m)2p_i; p_i =1

свойства дисперсии:

1. Для любой СВ Х: D(X)0. При Х=const D(X)0.

2. D(X)=M(X²)-M²(X)=M(X²-2mX-m²)

3. D(cX)=c²D(X)

4. D(X+c)=D(X)

5. D(X+Y)=D(X)+D(Y), D(X-Y)=D(X)+D(Y)

6. Независимые СВ: D(XY)=D(X)D(Y)+M²(X)D(Y)+M²(Y)D(X)

Дисперсия СВ

1. Биноминальные D(X)=npq

2. Пуассоновские D(X)=

3. Бернуллиевы D(X)=pq

Пример: Найти D(X) числа отказов элемента некоторого устройства в 10 независимых опытах, если p=0,9 Решение: n=10; p=0,9; q=0,1 D(X)=n*p*q=10*0,9*0,1=0,9