4 Работа в лаборатории

4.1 Ознакомиться с теоретическим материалом по лабораторной работе

4.2 Выполнить предложенные задания

4.3 Продемонстрировать результаты выполнения предложенных заданий

5 Контрольные вопросы

5.1 Какик способом можно решить простые вычисления в MathCad?

5.2 Каким способом можно решить линейные уравнения в MathCad?

5.3 Каким способом можно решить нелинейные уравнения в MathCad

6 Список литературы

6.1 основы MathCad /. —К.: Юниор, 2005. —320 с., ил.

6.2 Постановка задач для MathCad /. — М. : Издательский дом "Вильяме", 2009. — 498 с. : ил.

Лабораторная работа № 19-20 Алгоритмы принятия решений на основе нечёткой логики

1 Цель работы:

1.1 закрепление знаний в области нечеткой логики и механизмов принятия решений на её основе;

1.2 ознакомление с пакетом математического моделирования Fuzzy Toolbox в среде Matlab;

1.3 реализация нечеткого алгоритма принятия решений с помощью Matlab.

2. Краткие теоретические сведения

2.1. Введение

Нечеткая логика – это математическая наука, служащая расширением классической логики и основанная на концепции частичной истинности. Понятия нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткой логики (fuzzy logic) впервые были предложены американским ученым Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) в 1965 г. в статье “Нечеткие множества”, опубликованной в журнале “Информатика и управление”.

Основные преимущества систем на основе нечеткой логики:

• возможность оперирования нечеткими входными данными: например, значениями, которые невозможно задать однозначно («сильно уязвимый», «довольно дорогой» и т.п.);

• возможность нечеткой формализации критериев оценки и сравнения: оперирование критериями "большинство", "возможно", преимущественно";

• возможность проведения качественных оценок как входных данных, так и выходных результатов;

• возможность проведения имитационного моделирования сложных динамических систем и их сравнительный анализ с заданной степенью точности.

Необходимо отметить, что использование управления на основе нечеткой логики обычно рекомендуется для сложных процессов

(когда существует простой математической модели их описания), для нелинейных систем высоких порядков, а также в том случае, когда должна производиться обработка экспертных знаний. Если же приемлемый результат может быть получен с помощью классичской теории управления или уже существует формализованная и адекват­ная математическая модель, следует использовать традиционные методы

2.2. Основы теории нечетких множеств

В обычной теории множеств существуют несколько способов задания множества. Одним из них является использование характеристической функции, определяемой следующим образом: пусть U – некоторое универсальное множество, например, множество всех дей- ствительных чисел. Характеристическая функция множества A U – это функция _A,_(X →{0, 1}, значения которой (1 или 0) указывают на то, является x U элементом множества A или нет:

(1)

Нечёткие множества являются обобщением обычных множеств, для случая, когда характеристическая функция может принимать, любые значения из отрезка [0, 1]. В теории нечетких множеств данная характеристическая функция называется функцией принадлежности, а её значение _А (x) - степенью принадлежности элемента х нечётному множеству A.

Существуют различные типовые формы кривых для задания функции принадлежности. Наибольшее распространение получили: треугольная, трапецеидальная и гауссова функции принадлежности (риг 1,2).

Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a, b, с), и её значение в точке х вычисляется согласно выражению:

(2)

При b - а = с - b имеет место случай симметричной треугольной функции принадлежности, которая может быть однозначно задана двумя параметрами из тройки (а, b, с).

Аналогично, для задания трапецеидальной функции принад­лежности необходима четверка чисел (а, b, с, d):

(3)

При b - а = d - с трапецеидальная функция принадлежности прини­мает симметричный вид и требует для своего описания 3-х парамет­ров.

Рис. 1. Кусочно-линейные функции принадлежности

Функция принадлежности гауссова типа описывается формулой

(4)

и задается двумя параметрами. Параметр с обозначает «центр» нечет­кого множества, а параметр отвечает за «крутизну» функции (в соответствии «правилом 3-х сигм», площадь под кривой (х) на отрез­ке [с -3 , с + 3 ] равна 0,997 ).

Рис. 2. Гауссова функция принадлежности

Для нечётких множеств используются операции, введённые

Заде:

• пересечение множеств - операция над множествами А и

В, результатом которой является множество С = А В, содержащее только те элементы, которые принадлежат и множеству А и множест­ву В:

(5)

• объединение множеств - операция над множествами А и

В, результатом которой является множество С = А В, содержащее те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В или обоим множествам:

(6)

• отрицание множества - операция над множеством А,

результатом которой является множество С­­­­­ ¬А, содержащее все эле­менты, принадлежащие универсальному множеству, но не принадле­жащие множеству A:

(7)

• концентрация множества А - обозначается как CON(A),

от англ. concentration; соответствует усилительной частице «очень» (на­пример, «очень высокий», «очень дорогой»):

(8)

• растяжение множества А - обозначается символом

DIL(A), от англ. dilation; соответствует уменьшительной частице «довольно» (например, «довольно молодой», «довольно быстрый»):

(9)

Ключевыми понятиями теории нечетких множества являются понятия нечеткой и лингвистической переменных.

Нечеткая переменная определяется тройкой < α, U, µ >,где α-наименование переменной; U - универсальное множество (область, определения α); µ = µ(х) - функция принадлежности определённая на U, и характеризующая нашу степень уверенности в том, что х является значением нечёткой переменной.

Лингвистической переменной называется набор

<β, Т, U, G, М>, где β - наименование лингвистическом переменной; T—множество ее значений (терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных; G — синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T в частности, генерировать новые термы (значения); М- семантическая проце­дура, позволяющая превратить каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную,

Нечетким логическим выводом (fuzzy logic inference) называется аппроксимация зависимости Y = f(x₁, x₂, …, x_n) выходной лингвистической переменной от входных лингвистических переменных и получение заключения в виде нечеткого множества, с использованием базы знаний, содержащей правила вида «Если …, то…».

Механизм логического вывода состоит, в общем случае, из следующих этапов:

1) фаззификация – определение степеней уверенности, т.е. значения каждой из функций принадлежности терма при заданных значениях входных переменных x_k (k = 1, …, n);

2) нечеткий вывод – состоит из двух этапов:

• определение уровней «отсечения» для левой части каждого из правил, т.е. значения функций принадлежности для левых частей каждого правила («предпосылок»). В большинстве случаев, это либо максимум, либо минимум из степеней уверенности термов, вычисленных на этапе фаззификации (логические «ИЛИ», «И»);

• определение «усеченных» функций принадлежности. Для этого значения функций принадлежности предпосылок объединяются с соответствующими функциями принадлежности из правых частей правил по правилу «логического И»;

3) нечеткая композиция – определение результирующей функции принадлежности всей совокупности правил, т.е. объединение полученных усеченных функций (обычно по правилу «логического ИЛИ»);

4) дефаззификация – приведение к «четкости», используя результирующую функцию принадлежности. Основным методом деффазификации является центроидный (centroid) – нахождение центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осями координат и графиком функции принадлежности нечеткого множества;

В качестве примера рассмотрим процедуру принятия решения о необходимости выделения затрат на модернизацию системы защиты информации (СЗИ).

1. Сформулируем набор нечетких логических переменных:

• уровень угроз x = {Низкий (S), Средний (M), Высокий (L)};

• уязвимость ресурсов y = {Невысокая (S), Высокая (L)};

• затраты на модернизацию z = {Низкие (S), Высокие (L)}.

2. Построим графики функций принадлежности для этих переменных (рис. 3):

в

Рис. 3. Функции принадлежности для уровня угроз, уязвимости и

затрат на модернизацию СЗИ: а – уровень угроз; б – уязвимость ресурсов; в – затраты на модернизацию.

3. Сформулируем правила, регламентирующие работу системы принятия решений:

ЕСЛИ Уровень угроз = «НИЗКИЙ» И Уязвимость ресурсов = «НЕВЫСОКАЯ» ТО Затраты на модернизацию = «НИЗКИЕ»

Полный список всех правил, с указанием соответствующих значений нечетких переменных x, y и z приведен в табл. 1:

Таблица 1

База правил

x y	S	M	L
S	S	L	L
L	S	S	L

4. Построим графическое представление механизма логического вывода для конкретных значений входных переменных x = x^* и y = y^* (рис. 4)

0

0

1

б

0

1

1

0

5. Определим результирующую функцию принадлежности совокупности правил 1 - 4, используя при дефаззификации центроидный метод (рис. 5).

α₃ = max { α₁, α₃, α₄}

Рис. 5. Определение функции принадлежности

для выходной переменной и дефаззификация