- •1 .1. Векторная алгебра Для замечаний
- •1.1.1.2. Линейные операции над векторами
- •Свойства сложения векторов:
- •1.1.1.3. Понятие линейной зависимости векторов
- •1.1.1.4. Линейные комбинации двух векторов
- •1.1.1.5. Линейные комбинации трех векторов
- •1.1.1.6. Линейная зависимость четырех векторов
- •1.1.1.7. Понятие базиса. Аффинные координаты
- •1.1.1.8. Проекция вектора на ось
- •1.1.1.9. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. (дпск)
1.1.1.9. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. (дпск)
ДПСК является частным случаем аффинной системы, отвечающим тройке взаимно ортогональных и единичных базисных векторов . Принято направления векторов брать совпадающими с направлением декартовых осей Ox, Oy, Oz соответственно.
Нами получено, что любой вектор может быть, причем единственным способом, разложен по декартову прямоугольному базису (ДПБ) , т.е. для каждого вектора существует единственная тройка чисел X, Y, Z такая, что
.
Числа X, Y, Z называются декартовыми прямоугольными координатами (ДПК) вектора . Если M- любая точка пространства, то ДПК этой точки совпадают с ДПК вектора .
Вектор будем также записывать в виде .
Теорема 1.9. ДПК вектора равны прекциям этого вектора на оси OX, OY и OZ соответственно.
Доказательство.
|
.
, т.к. из и того, что , получаем . Но знаки OA и X совпадают, |
т.к. когда векторы направлены в одну сторону, оба числа OA и X положительны, а в случае когда векторы направлены в противоположные стороны, оба числа OA и X отрицательны. Т.е. OA=X.
Аналогично OB=Y, OC=Z, ч.т.д.
Обозначим , , углы наклона вектора к осям Ox, Oy, Oz соответственно. Числа cos, cos, cos называют направляющими косинусами вектора .
Из теорем 8 и 9 имеем
. (1)
Т.к. квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон, то из равенств OA=X, OB=Y, OC=Z получим выражение для длины вектора через его координаты:
(2)
Из формул (1) и (2) имеем:
, .
Возводя в квадрат и складывая последние равенства, получим
.