Два вида истин

Краус и Бриди согласны относительно того, что, по сути дела, имеются два вида истин. Некоторые истины, например, та истина, что все жеребцы относятся к мужскому полу, «тривиально» истинны — истинны по соглашению. Другие истины, например, та, что все жеребцы имеют уши (если это истина), являются таковыми благодаря фактам.

Если истинно в силу соглашения, что все жеребцы относятся к мужскому полу, то нам не нужно идти и проверять всех жеребцов — относятся они к мужскому полу или нет Как обстоят дела в действительности, в данном случае не важно. Не имеет значения, какие факты существуют в мире: истина по соглашению останется истиной в любом случае. Она является «тривиальной» истиной.

С другой стороны, утверждение, истинное благодаря фактам, не является «тривиально» истинным. Такое утверждение рискует оказаться ложным, ибо мир может быть не таким, каким оно его описывает. Как говорит Краус, может случиться так, что не все жеребцы имеют уши. Для того чтобы узнать истинно ли нетривиальное утверждение, мы должны исследовать, таковы ли в действительности факты, о которых оно говорит: нужно пойти и посмотреть на всех жеребцов.

Бриди полагает, что математические утверждения истинны благодаря конвенции. Как и утверждение о том, что все жеребцы относятся к мужскому полу, они истинны благодаря нам самим. С другой стороны, Краус считает, что истинность математических утверждений определяется независимыми математическими фактами. Такова позиция математического реалиста.

Какая из этих двух точек зрения правильна?

245

Странный мир чисел

Попробуем сначала более ясно представить себе те факты, которые, по мнению Крауса, делают истинными математические утверждения. Нам известно, где искать астрономические, географические, физические или химические факты. Но где искать математические факты? Краус отвечает на этот вопрос следующим образом.

Краус: Математики часто думают о себе приблизительно так, как.они думают об астрономах. Как астроном исследует небо с помощью телескопа и открывает в нем новые необычные объекты и факты -пульсары, квазары и место Большого Взрыва, - так и математик исследует еще более высокую и тонкую область - область чисел.

Бриди: Чисел?

Краус: Да. Это очень необычная область. По-видимому, числа являются гораздо более удивительными объектами, чем даже пульсары и квазары, ибо они не являются физическими предметами.

Бриди: Ну да! Число 2 - не такая вещь, о которую можно споткнуться!

Краус: Совершенно верно. Оно нигде физически не локализовано. Тем не менее оно существует.

Бриди: Но если числа не являются физическими объектами и не локализованы в пространстве, то я не знаю, в каком смысле они существуют. Ведь реально существует только физический мир - с его физическими объектами, силами и свойствами, не так ли?

Краус: Нет, не так. Имеется реальность и помимо физической реальности.

Бриди: Что же это за странная реальность?

Краус: Область чисел является вечной. Физический мир имел начало во времени - Большой Взрыв - и когда-нибудь придет к своему концу. Но область чисел является вечной, она не имеет начала или конца во времени. 2x2 = 4 представляет собой вневременную истину: она останется истиной, даже если однажды исчезнет весь физический мир вместе со всем, что в нем находится.

Бриди: Понимаю.

Краус: Звезды и звездные системы находятся в процессе постоянного изменения. Но область чисел никогда не изменяется. И факты, относящиеся к этим необычным объектам - числам, - делают наши

246

математические утверждения истинными или ложными. Мое утверждение о том, что 12 х 12 = 144, истинно, поскольку точно отображает положение дел в мире чисел.

Будучи конвенционалистом, Бриди, конечно, убежден в том, что эта необычная область, в реальное существование которой верит Краус, на самом деле является иллюзией.

Бриди: Мне представляется, что эта «область чисел», изучаемая математиками, в действительности целиком является их собственным созданием. Все, что математики в действительности делают при своих вычислениях, сводится к получению следствий из определенных соглашений, которые они сами приняли для манипулирования символами (и иногда добавляют новые соглашения). Математика вместе с ее истинами целиком является нашим собственным изобретением.

Прав ли Краус? Описывают ли математики какую-то тонкую, существующую независимо от нас реальность? Или математика в конечном счете лишь плод нашей собственной изобретательности?