- •3.1 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях I рода через однослойную плоскую стенку
- •3.2 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях I рода через многослойную плоскую стенку
- •3.3 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях I рода через однослойную цилиндрическую стенку
- •3.4 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях I рода через многослойную цилиндрическую стенку
- •3.5 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях I рода через шаровую стенку
ТМО-3 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ПЕРВОГО РОДА
3.1 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях I рода через однослойную плоскую стенку
Рассмотрим случай теплопроводности в плоской однослойной стенке.
§
Рисунок 3.1 Теплопроводность в плоской однослойной стенке при λ = const
Стенка однородна и изотропна. Дифференциальное уравнение теплопроводности позволяет определить температуру в зависимости от времени для любой точки рассматриваемой стенки.
. (3.1)
Сформулируем условия однозначности.
Температуры поверхностей стенки tст´ и tст´´ поддерживаются постоянными, т.е. поверхности стенки являются изотермными поверхностями. Температура меняется только в направлении, перпендикулярном к плоскости стенки, которое принимаем за х.
Длина и ширина этой стенки бесконечно велики по сравнению с ее толщиной δ. Стенка имеет во всех своих частях одинаковую толщину.
Коэффициент теплопроводности λ постоянен для всей стенки.
Граничные условия I рода: При х =0 tст´=const, а при х = δ tст´´=const.
При стационарном тепловом режиме, температура в любой точке тела не зависит от времени, т.е. .
При принятых условиях первые и вторые производные от t по y и z также равны нулю: . А коэффициент температуропроводности вещества стенки а не может быть равен нулю. Поэтому уравнение (3.1) для рассматриваемого случая запишется:
(3.2)
После интегрирования уравнения (3.2):
. (3.3)
После вторичного интегрирования:
t = A·x + B. (3.4)
Так как задано, что λ постоянен, то уравнение (3.4) является уравнением прямой линии. Следовательно, закон изменения температуры при прохождении теплоты через плоскую однослойную стенку будет линейным.
Из граничных условий определятся постоянные интегрирования А и В.
При х =0, температура стенки равна tст´, т.е.
t = tст´ = В;
при х = δ, t = tст´´= А·δ + tст´, откуда:
. (3.5)
Из уравнения Фурье плотность теплового потока:
.
Абсолютная величина плотности теплового потока в стенке:
, Вт/м2. (3.6)
Общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки площадью F за время τ:
, Дж. (3.7)
А тепловой поток в единицу времени:
, Вт. (3.8)
Уравнение для вычисления плотности теплового потока при переменном коэффициенте теплопроводности, зависящем от температуры, получено также на основе уравнения Фурье:
, Вт/м2. (3.9)
В этом уравнении коэффициент теплопроводности принят равным средне интегральной величине в заданном интервале температур:
, Вт/м·град. (3.10)
А уравнение температурной кривой в стенке:
, оС. (3.11)
В уравнениях 3.9, 3.10, 3.11 b – коэффициент, определяемый экспериментально.
Из уравнения (3.11) следует, что при λ зависящем от температуры, температура внутри стенки изменяется по кривой (см. рис. 3.2). Если коэффициент b отрицателен, то кривая будет направлена выпуклостью вниз, если коэффициент b – положителен, то выпуклостью вверх.
Рисунок 3.2 Теплопроводность в плоской однослойной стенке при λ ≠ const