3.2 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях I рода через многослойную плоскую стенку

В ограждающих конструкциях зданий и теплоиспользующих установках часто встречаются стенки, состоящие из нескольких плоских слоев различных материалов.

Расчетную формулу для определения теплового потока при теплопроводности через многослойную стенку получают из уравнения теплопроводности для отдельных слоев, полагая, что:

- тепловой поток, проходящий через любую изотермную поверхность многослойной стенки, один и тот же;

- все слои плотно прилегают друг к другу;

- все слои состоят из однородных и изотропных материалов.

t_cт1

Рисунок 3.3 Теплопроводность в плоской многослойной стенке при λ = const для каждого слоя

Для вывода такой формулы рассмотрим трехслойную стенку, в которой толщины отдельных слоев равны δ₁, δ₂ и δ₃, а коэффициенты теплопроводности материалов этих слоев - λ₁, λ₂ и λ₃. Температуры наружных поверхностей стенки равны t_cт1 и t_cт4, а температуры между слоями t_cт2 и t_cт3.

Тепловой поток для каждого слоя, согласно уравнению Фурье:

(3.12)

(3.13)

. (3.14)

Записав эти уравнения относительно разности температур для каждого слоя, а затем просуммировав полученные уравнения получим:

Откуда: , (3.15)

или для n –слоев: . (3.16)

Отношение δ/λ = R - называется термическим сопротивлением слоя, а величина - полным термическим сопротивлением многослойной плоской стенки.

В практических расчетах тепловой поток в плоской многослойной стенке иногда рассчитывают как в однородной, вводя эквивалентный коэффициент теплопроводности для этой стенки:

, тогда .

Температуры между слоями многослойной стенки, с учетом плотности теплового потока (Q/F = q):

,

.

Температура в каждом слое стенки при принятом постоянном коэффициенте теплопроводности изменяется по линейному закону, а для многослойной стенки – график изменения температуры в стенке представляет собой ломаную линию.

3.3 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях I рода через однослойную цилиндрическую стенку

И в тепловых аппаратах, и в трубопроводах в технике имеет место процесс теплопроводности в цилиндрической стенке.

Расчетную формулу для определения теплового потока при теплопроводности через цилиндрическую стенку получают из уравнения Фурье, полагая, что:

- внешняя и внутренняя поверхность прямой цилиндрической трубы поддерживаются при постоянных температурах t_cт2 и t_cт1 соответственно. Следовательно, изотермные поверхности будут цилиндрическими поверхностями, имеющими общую ось с трубой, а температура будет меняться только в направлении радиуса. Поэтому вектор теплового потока также будет радиальным и температурное поле можно рассматривать как одномерное (поскольку принято равномерное распределение температур по внешней и внутренней поверхности трубы):

t = f (r).

- труба имеет бесконечную длину;

- рассматривается участок трубы длиной l.

Рисунок 3.4 Теплопроводность в цилиндрической однослойной стенке при λ = const

Внутри цилиндрической стенки выделим кольцевой слой радиусом r и толщиной dr. Площадь поверхности F на расстоянии r от оси равна 2π r l. Так как выделенный слой dr бесконечно малой толщины, то можно принять его внутреннюю и наружную поверхности одинаковыми, и рассматривать этот элементарный слой как плоскую стенку. Разность температур между его поверхностями так же будет малой величиной равной dt.

Согласно закону Фурье:

Q = - λ·F· (dt/dr), (3.17)

Или для кольцевого слоя:

Q = - λ·2π· r·l· (dt/dr). (3.18)

Разделив переменные, получим:

. (3.19)

Интегрируя это уравнение в пределах от t_cт1 до t_cт2 и от r₁ до r₂ при λ = const, получим:

,

, (3.20)

откуда тепловой поток:

. (3.21)

Анализируя полученное уравнение (3.21) можно заключить, что тепловой поток, проходящий через цилиндрическую стенку, определяется заданными граничными условиями (t_cт1 и t_cт2) и зависит от отношения наружного диаметра к внутреннему, а распределение температур в стенке цилиндрической трубы представляет собой логарифмическую кривую.

Тепловой поток может быть отнесен к единице длины трубы – линейная плотность теплового потока:

, Вт/м. (3.22)

Также тепловой поток может быть отнесен к 1 м² внутренней q₁ или внешней поверхности трубы – q₂.

, Вт/м² (3.23)

,Вт/м² (3.24)