3.4 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях I рода через многослойную цилиндрическую стенку
Рассмотрим цилиндрическую стенку, состоящую из трех плотно прилегающих друг к другу слоев с коэффициентами теплопроводности материалов этих слоев - λ1, λ2 и λ3. Диаметры слоев – d1, d2, d3, d4. Температуры внутренней и наружной поверхностей стенки равны tcт1 и tcт4, а температуры между слоями tcт2 и tcт3. Температура каждого слоя стенки изменяется по логарифмической кривой, а общая температурная кривая представляет собой ломаную логарифмическую кривую.
При стационарном режиме теплопроводности через все слои проходит одинаковый тепловой поток.
,
,
.
Решим полученные уравнения относительно разностей температур, а затем полученные результаты почленно просуммируем:
+
,
откуда:
,
Вт. (3.25)
Для стенки, состоящей из n-слоев:
.
(3.26)
Величина эквивалентного коэффициента теплопроводности многослойной цилиндрической стенки определится по аналогии с плоской многослойной стенкой:
,
(3.27)
Тогда тепловой поток:
.
(3.28)
Температуры между слоями определятся:
(3.29)
(3.30)
и т.д.
(3.31)
3.5 Теплопроводность при стационарном режиме и граничных условиях I рода через шаровую стенку
В тепловых аппаратах стенки иногда бывают сферическими, например, в варочных вращающихся печах, имеющих шаровидную форму, поэтому возникла необходимость получения формулы для вычисления теплового потока через сферическую стенку.
Расчетную формулу для определения теплового потока при теплопроводности через шаровую стенку получают из уравнения Фурье, полагая что:
- источник теплоты находится внутри шара и постоянный тепловой поток направлен через шаровую стенку по направлениям радиусов шара;
- температура изменяется только в направлении радиуса;
- изотермные поверхности представляют собой концентрические шаровые поверхности – температура внутренней поверхности tcт1, наружной tcт2;
- коэффициент теплопроводности материала стенки λ = const;
- внутренний радиус шара r1, наружный – r2.
Рисунок 3.5 Теплопроводность в шаровой однослойной стенке при λ = const
Тепловой поток, проходящий через шаровой слой радиусом r и толщиной dr, в соответствии с уравнением Фурье:
(3.32)
После разделения переменных:
(3.33)
Интегрируя последнее уравнение по t и r, а постоянную интегрирования определяя из граничных условий при r = r1 → t = tcт1, а при r = r2 → t = tcт2, получим:
.
(3.34)