- •Глава 10. Матрицы и определители § 10.1. Матрицы и линейные операции над ними
- •Сложение матриц
- •Умножение матрицы на число
- •§ 10.2. Умножение матриц
- •Пример 10.2. Заданы матрицы:
- •Выяснить, какие из произведений , , , , или существуют, и найти эти произведения.
- •Свойства произведения матриц.
- •§ 10.3. Транспонирование матриц
Свойства произведения матриц.
1. . 2. , .
3. . 4. . 5. .
Все свойства справедливы только в тех случаях, когда произведения матриц в левой (или правой) части равенства существуют. Первое свойство носит название ассоциативности, второе – дистрибутивности умножения относительно сложения.
Пример 10.7. Известно произведение . Найти:
а) , если ;
б) , если .
∆ На основании свойств получаем:
а) ;
б) .▲
Степени квадратной матрицы. Если – квадратная матрица, то определено произведение , которое называется квадратом матрицы и обозначается . Квадрат матрицы является квадратной матрицей того же порядка, что и , поэтому определено и произведение и так далее: для любого натурального числа по определению .
Квадратная матрица перестановочна с любой своей натуральной степенью, т.е. для любой квадратной матрицы и для любого натурального справедливо равенство , перестановочны также любые натуральные степени одной и той же квадратной матрицы. Более того, если матрицы и перестановочны, то перестановочны и любые их натуральные степени.
Если , то по определению считается, что .
Пример 10.8. Докажите, что для произвольных перестановочных матриц и при любом натуральном справедливо равенство
– (10.1)
формула бинома Ньютона.
∆ Доказательство проведем методом математической индукции.
1. При получаем: – равенство истинно.
2. Предположим, что равенство верно при , и докажем его для (в квадратных скобках будем пояснять выполняемые действия):
[применяем предположение индукции]
[раскрываем скобки]
[множители, не зависящие от индекса суммирования, вносим под знак суммы и используем перестановочность матриц и ]
[в первой сумме отделяем первое слагаемое, а во второй – последнее]
[во второй сумме делаем замену индекса ]
[во второй сумме полагаем ]
[объединяем две суммы в одну]
[используем свойства биномиальных коэффициентов , ]
[все слагаемые объединяем в одну сумму] .▲
Пример 10.9. Найти -ю степень матрицы .
∆ На основании определения с использованием результата примера 10.4 при получаем:
При каждом последующем умножении на матрицу к аргументу просто будет прибавлять еще одно слагаемое . Окончательно получим ▲
Пример 10.10. Вычислить -ю степень для следующих матриц:
а) ; б) ; в) ; в) .
∆ а) На основании примера 10.5 а) получаем
; .б) Частный случай примера а): .
в) На основании примера 10.5 б) при умножении матрицы на любую матрицу слева столбцы последней передвигаются на одну позицию вправо. Таким образом,
;
.
Так как третья степень матрицы – нулевая матрица, то и все последующие ее степени также будут нулевыми матрицами.
в) Запишем матрицу в виде .
При решении примера 10.5 доказано, что матрицы и коммутируют, поэтому можно воспользоваться формулой (10.1): . Так как все степени матрицы , начиная с третьей, равны нулевой матрице, то в правой части останется только три слагаемых. Таким образом,
.
Замечание. Отметим следующий интересный факт: в каждой строке матрицы , начиная с диагонального элемента, последовательно записаны слагаемые бинома , причем их будет столько, сколько позволяет порядок матрицы. Это утверждение справедливо и для матриц любого порядка. Так, например, если
,
то ; .▲
Определение 10.4. Пусть задан некоторый многочлен . Для любой квадратной матрицы будем считать по определению, что
.
Если , то говорят, что матрица является корнем многочлена .
Пример 10.11. Доказать, что матрица является корнем многочлена .
∆ Согласно определению 10.4 . Найдем вначале : . Тогда
, что и требовалось доказать. ▲
Пример 10.12. Для матрицы найти для следующих многочленов:
а) ; б) .
∆ а) Поступаем так же, как и в предыдущем примере:
; ;
б) На основании примера 10.11 получаем . Поэтому первое слагаемое равно нулевой матрице независимо от того, каким будет первый сомножитель. Значит,
. ▲