7.2 Расчет балок по нормальным напряжениям.

I тип задач: проверочный расчет. Выполняется по уравнениям (7.10), (7.11).

Для хрупких материалов, если на эпюре изгибающих моментов имеются участки разных знаков, расчет на прочность выполняют для двух сечений: с наибольшими напряжениями сжатия и растяжения.

II тип задач: проектный расчет или подбор сечения.

Для подбора сечения из условия прочности выражается осевой момент сопротивления сечения:

. (7.12)

Так как пластичные материалы одинаково работают на растяжение и на сжатие балки, сечения из таких материалов выполняют симметричными относительно оси Оx (швеллер, двутавр, прямоугольник).

Однако в этом случае материал, равномерно распределенный по высоте сечения, плохо используется в зоне нейтральной оси. Чтобы получить более рациональное сечение, необходимо возможно большую часть материала переместить в зоны, максимально удаленные от нейтральной оси. Таким образом, приходим к рациональному для пластичного материала сечению в форме симметричного двутавра (рис. 7.3, б), у которого возможно большая часть материала сосредоточена на полках (горизонтальных массивных листах), соединенных стенкой (вертикальным листом), толщина которой δ назначается из условий прочности стенки по касательным напряжениям, а также из соображений ее устойчивости. К двутавровому сечению близко по критерию рациональности так называемое коробчатое сечение (рис.7.3, в).

Рис 7.3

Хрупкие материалы хуже работают на растяжение и лучше на сжатие, поэтому балки из хрупких материалов выполняют несимметрично оси X (тавровые балки). Балку располагают так, чтобы большая ее площадь попала в область растянутых волокон:

, (7.13)

где .

Из двух значений W_x принимаем большее значение.

При проектировании составных балок (из нескольких элементов) необходимо расположить эти элементы так, чтобы они находились как можно дальше от центра тяжести балки (рис. 7.4).

Рис 7.4

III тип задач: определение допускаемой нагрузки.

Для пластичных материалов допускаемая нагрузка определяется по формуле:

. (7.14)

Для хрупких материалов по формулам:

. (7.15)

Из двух полученных значений допускаемых моментов выбирается меньший.

7.3 Определение напряжений при поперечном изгибе.

При плоском поперечном изгибе в поперечном сечении балки от действия поперечной силы возникают касательные напряжения.

На основании закона парности касательных напряжений они возникают также и в продольных сечениях. Вследствие чего происходит сдвиг одних продольных волокон относительно других. Поперечные сечения при этом искривляются и гипотеза плоских сечений не выполняется. Однако на величину нормальных напряжений искривление поперечных сечений существенно не влияет. Поэтому они определяются по той же формуле, что и для чистого изгиба.

.

Для вывода формулы касательных напряжений при изгибе рассмотрим консольную балку симметричного поперечного сечения, нагруженную силой F. Эпюры Q_y и М_x приведены на рис. 7.5 а). Двумя поперечными сечениями выделим из балки бесконечно малый элемент длиной dz. Действие отброшенных частей балки заменим поперечными силами и изгибающими моментами. Изгибающий момент в правом сечении элемента на бесконечно малую величину dМ_x больше , чем в левом, а поперечные силы в обоих сечениях одинаковы. Сечением, проведенным параллельно нейтральному слою на уровне y, разделим элемент на две части (рис 7.5 б)).

а) б)

Рис.7.5

По продольному сечению балки возникают усилия сдвига, интенсивностью Т, благодаря которым устраняются относительные проскальзывания частей балки, соприкасающихся по продольному сечению, и балка работает на изгиб как сплошное монолитное тело, а эпюра σ изменяется по высоте сечения без скачков в соответствии с формулой (7.5).

. (7.16)

Составим уравнение равновесия верхней отсеченной части сечения:

, .

Подставляя (7.15) получим:

. (7.17)

Преобразуя полученное выражение относительно касательного напряжения τ, получим формулу Журавского:

, (7.18)

где,   касательные напряжения в продольных и поперечных сечениях балки;

Q_y – поперечная сила в рассмотренном сечении, берется по эпюре со своим знаком;

 статический момент отсеченной части относительно оси X;

J_x  момент инерции всего сечения относительно оси X;

b_y  ширина поперечного сечения балки на расстоянии y от нейтральной оси.

Знак касательного напряжения определяется знаком поперечной силы.

Формула (7.18) получена для касательных напряжений, возникающих в сечении параллельном нейтральному слою, но по закону парности касательных напряжений такие же напряжения возникают и в поперечных сечениях на расстоянии y от нейтральной оси x.

Установим закон распределения касательных напряжений по высоте для прямоугольного поперечного сечения:

Отсечем на расстоянии y часть сечения площадью A (рис.7.6), тогда центром тяжести верхней отсеченной части будет точка С, ее координату y_с определим как:

.

Статический момент отсеченной части будет равен:

.

Осевой момент инерции для прямоугольного сечения определяется по формуле (из п. 3.5):

Подставляем выражения для I_x и S_x в формулу Журавского и получаем:

В полученное выражение координата y входит в квадрате, следовательно, касательное напряжение изменяется по высоте сечения по параболическому закону.

В крайних точках сечения при y=h/2, =0.

В точках нулевой линии при y=0, .

Рис 7.6