8.2 Формула Эйлера для определения критической силы.

Для нахождения критических напряжений σ_кр необходимо вычислить критическую силу, т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень.

Эту задачу впервые решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.

Задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы Р такое искривление возможно.

Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам, одна из опор которого допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня (рис.8.2). Собственным весом стержня пренебрегаем.

Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами P=P_кр и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости, стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, так как P=P_кр.

Рис. 8.2

Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня. Выбрав начало координат, направление координатных осей, как показано на рис.8.2, имеем:

. (8.4)

Возьмем сечение на расстоянии z от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у, а изгибающий момент равен:

. (8.5)

Деля обе части уравнения на EJ и обозначая дробь через k² , приводим его к виду

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

. (8.6)

Граничные условия: на концах стержня дают два уравнения:

1. z=0; y=0  A=0, , таким образом изогнутая ось является синусоидой.

2. Подставляем в полученное уравнение граничные значения отсюда следует, что .

. (8.7)

Здесь I—минимальный момент инерции поперечного сечения стержня.

Полученная формула, называется формулой Эйлера для сжатого стержня с шарнирно-опертыми концами. Значению критической силы (8.7) соответствует изгиб стержня по синусоиде с одной полуволной по формуле (8.6).

8.3 Влияние способа закрепления концов стержня на величину

критической силы.

Формула Эйлера была получена путем интегрирования приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси стержня при определенном закреплении его концов (шарнирно-опертых). Значит, найденное выражение критической силы справедливо лишь для стержня с шарнирно-опертыми концами и изменится при изменении условий закрепления концов стержня.

Закрепление сжатого стержня с шарнирно-опертыми концами мы будем называть основным случаем закрепления. Другие виды закрепления будем приводить к основному случаю.

Если повторить весь ход вывода для стержня, жестко защемленного одним концом и нагруженного осевой сжимающей силой на другом конце (рис.8.3), то мы получим другое выражение для критической силы, а следовательно, и для критических напряжений.

. (8.8)

Рис. 8.3

Рис. 8.4

Если мы обратимся к случаю стойки, у которой оба конца защемлены и не могут поворачиваться (рис. 8.4), то заметим, что при выпучивании, по симметрии, средняя часть стержня, длиной l/2, будет работать в тех же условиях, что и стержень при шарнирно-опертых концах (так как в точках перегиба изгибающие моменты равны нулю, то эти точки можно рассматривать как шарниры). Поэтому критическая сила для стержня с защемленными концами, длиной l, равна критической силе для стержня основного случая длиной l/2:

, (8.9)

где =0,5.

, (8.10)

Рис 8.5 где =0,7.

Полученные выражения можно объединить с формулой для критической силы основного случая и записать:

(8.11)

где   коэффициент приведения длины стержня, зависит от способа закрепления концов стержня;

 приведенная длина стержня.

Так как потеря устойчивости стержня всегда происходит в плоскости перпендикулярной оси min, то в формулу (8.11) подставляется минимальный момент инерции сечения I_min.

На практике почти никогда не встречаются в чистом виде те закрепления концов стержня, которые мы имеем на наших расчетных схемах.

Вместо шаровых опор обычно применяются цилиндрические шарниры. Подобные стержни следует считать шарнирно-опертыми при выпучивании их в плоскости, перпендикулярной к оси шарниров; при искривлении же в плоскости этих осей концы стержней следует считать защемленными (с учетом оговорок, приведенных ниже для защемленных концов).

В конструкциях очень часто встречаются сжатые стержни, концы которых приклепаны или приварены к другим элементам, часто с добавлением в месте прикрепления фасонных листов. Такое закрепление трудно считать защемлением, так как части конструкции, к которым прикреплены эти стержни, не являются абсолютно жесткими.

Между тем, достаточно возможности уже небольшого поворота опорного сечения в защемлении, чтобы оно оказалось в условиях, очень близких к шарнирному опиранию. Поэтому на практике недопустимо рассчитывать такие стержни, как стойки с абсолютно защемленными концами. Лишь в тех случаях, когда имеет место очень надежное защемление концов, допускается небольшое (процентов на 10—20) уменьшение свободной длины стержня.

На практике встречаются стержни, опирающиеся на соседние элементы по всей плоскости опорных поперечных сечений. Сюда относятся деревянные стойки, отдельно стоящие металлические колонны, притянутые болтами к фундаменту, и т. д. При тщательном конструировании опорного башмака и соединения его с фундаментом можно считать эти стержни имеющими защемленный конец.