Моменты старших порядков, дисперсия

Определение 41. Если то число называется моментом порядка k (k-м моментом) случайной величины ;

называется абсолютным моментом порядка k (абсолютным k-м моментом) случайной величины ;

называется центральным моментом порядка k (центральным k-м моментом)- случай ной величины ;

называется абсолютным центральным моментом порядка k (абсолютным центральным k-м моментом) случайной величины ,

Число. (центральный момент порядка 2) называется дисперсией случайной величины

Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений

Пример 33. Распределение Бернулли В_р.

Пример 34, Биномиальное распределение В_n,_р. Воспользуемся свойством устойчивости биномиального распределения относительно суммирования. Возьмем n « независимых случайных величин ₁. . . , _n имеющих распределение Бернулли В_р = b₁,_p.

Тогда их сумма имеет распределение В_n,р. так как все одинаково распределены и их математическое ожидание равно р; поскольку независимы и дисперсия каждой равна pq

Пример 35. Геометрическое распределение G_p

При р € (0, 1) (*)

Равенство (*} появилось из-за нежелания дифференцировать сумму геометрической прогрессии, начинающейся не с 1, а c q. Заметьте, что производная у добавленных слагаемых равно 0, так что производные от этих двух сумм равны.

Поэтому

Пример 36. Распределение Пуассона

Доказать, что так что

Пример 37. Равномерное распределение

; ;

Пример 38. Стандартное нормальное распределение N_0,1

поскольку под интегралом стоит нечетная функция, и сам интеграл абсолютно сходится (за счет быстро убывающей ).

Последнее равенство следует из того, что а интеграл по всей прямой от плотности любого распределения равен 1, Поэтому

Пример 39, Нормальное распределение

Мы знаем, что если то , и Поэтому

Пример 40. Показательное (экспоненциальное} распределение

Найдем для произвольного момент порядка k.

В последнем равенстве мы воспользовались гамма-функцией Эйлера: Соответственно,

Вопрос 22.1. Виды сходимости последовательностей случайных величин. Закон больших чисел. Теорема Чебышева Виды сходимости последовательностей случайных величин.

Пусть имеется счетная последовательность случайных величин и пусть предел последовательности.

1. Счетная последовательность сходится к пределу с вероятностью 1, если Р(А)=1. Это не вероятность достоверного события.

2. Сходимость по поверхности. Счетная последовательность случайных величин сходится к по поверхности, если

3. Сходимость в среднеквадратичном. Последовательность случайных величин сходится к пределу в среднеквадратичном, если выполняется

Закон больших чисел Чебышева

Теорема. При числе испытаний, стремящихся к  среднее арифметическое по вероятности сходится к математическому ожиданию.

Доказательство: Рассмотрим независимые, одинаково распределенные случайные величины X₁, X₂, ..., X_n с конечным мат. ожиданием и дисперсией.

Рассмотрим их среднее арифметическое

Используя вспомогательное неравенство получим

получаем

Другая формулировка: Пусть ₁, ₂, …, _n, … - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т.е. D(_i)C для любого i. Тогда, каково бы ни было >0, справедливо соотношение

Смысл закона больших чисел Чебышева состоит в следующем. В то время как отдельная случайная величина может принимать значения, очень далёкие от своег математического ожидания, средняя арифмитическая большого числа случайных величин с вероятномтью, близкой к единице, принимает значение, мало отличающееся от среднего арифмитического их математического ожидания.