4.4.1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

а) выбор гауссовой поверхности: куда может быть направлено - только по нормали к плоскости! Значит, S надо выбрать так, чтобы вектор был либо параллелен ей (Е_n=0), либо перпендикулярен (Е_n=E). Этим условиям удовлетворяет, например, "гауссов ящик", изображенный на рисунке.

б) считаем Σq_i внутри "гауссова ящика": очевидно,

;

в) приравниваем результат, полученный в пункте а), к результату пункта б), деленному на ε₀:

.

Выражаем E: .

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости однородно.

4.4.2. Поле плоского конденсатора . Т.к.   ,   то      .

4.4.3. Поле однородно заряженного бесконечного цилиндра

- линейная плотность заряда. Применяя теорему Гаусса, получим:

,     при r > R.

4.4.4. Поле однородно заряженной сферы

Применяя теорему Гаусса, получим: при r > R. Если r < R, то E = 0.

- объемная плотность заряда q- суммарный заряд шара

Применяя теорему Гаусса, получим:

5. Работа электростатического поля

.

5.1. Работа электрического поля точечного заряда

Пусть Е создается точечным зарядом q, тогда

;

,

Работа поля:

.

6. Потенциал - энергетическая характеристика поля

Потенциал электростатического поля в точке r равен отношению потенциальной энергии пробного точечного заряда q', помещенного в данную точку, к величине этого заряда q'.

, φ - не зависит от q'!

Единица потенциала - 1 вольт (1 В) .

6.2. Разность потенциалов, связь с работой

. ;     ;

φ₁ - φ₂  -   разность потенциалов,    .

6.2.1. Потенциал поля точечного заряда

.

.

Значит, потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q:

,

здесь мы полагаем, что на бесконечности потенциал φ равен нулю.

6.2.2. Потенциал поля системы точечных зарядов

В общем случае: ,

6.2.3. Электрон-вольт - внесистемная единица работы

;

7. Связь между напряженностью и потенциалом

Заряд q перемещается в электрическом поле на из точки 1 в точку 2. Выразим работу по перемещению заряда двумя способами:

а) через напряженность

,     ;

б) через разность потенциалов:

.

Приравнивая, получим:

.

Возьмем вдоль оси x, тогда:

.

Для вдоль оси у, имеем:

.

Для вдоль оси z:

.

Вектор напряженности:

.

Обозначим

.

Это оператор градиента, или оператор Гамильтона. Другое название значка - оператор набла. Тогда

Напряженность равна (-) градиенту потенциала.

8. Эквипотенциальная поверхность (лат. aequus - равный) - поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, т.е. 

Перемещаем заряд q вдоль эквипотенциальной поверхности:

Линии напряженности перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Для установления связи между силовой характеристикой электрического поля - напряжённостью и его энергетической характеристикой - потенциалом рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q: dA = q E dl, эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q: dA = - dW_п = - q d , где d - изменение потенциала электрического поля на длине перемещения dl. Приравнивая правые части выражений, получаем: E dl = -d или в декартовой системе координат

E_x dx + E_y dy + E_z dz = -d , (1.8)

где E_x, E_y, E_z - проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение (1.8) представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем

откуда

.

Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала j, т. е.

E = - grad = -Ñ .

Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала.

Рассмотрим электрическое поле, создаваемое положительным точечным зарядом q (рис. 1.6). Потенциал поля в точке М, положение которой определяется радиус-вектором r, равен = q / 4pe₀er. Направление радиус-вектора r совпадает с направлением вектора напряженности E, а градиент потенциала направлен в противоположную сторону. Проекция градиента на направление радиус-вектора

.

Проекция же градиента потенциала на направление вектора t, перпендикулярного вектору r, равна

,

т. е. в этом направлении потенциал электрического поля является постоянной величиной ( = const).

В рассмотренном случае направление вектора r совпадает с направлением рис. 1.6

силовых линий. Обобщая полученный результат, можно утверждать, что во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал электрического поля одинаков. Геометрическим местом точек с одинаковым потенциалом является эквипотенциальная поверхность, ортогональная к силовым линиям.

рис. 1.7

При графическом изображении электрических полей часто используют эквипотенциальные поверхности. Обычно эквипотенциали проводят таким образом, чтобы разность потенциалов между любыми двумя эквипотенциальными поверхностями была одинакова. На рис. 1.7 приведена двухмерная картина электрического поля. Силовые линии показаны сплошными линиями, эквипотенциали - штриховыми.

Подобное изображение позволяет сказать, в какую сторону направлен вектор напряжённости электрического поля; где напряжённость больше, где меньше; куда начнёт двигаться электрический заряд, помещённый в ту или иную точку поля. Так как все точки эквипотенциальной поверхности находятся при одинаковом потенциале, то перемещение заряда вдоль нее не требует работы. Это значит, что сила, действующая на заряд, все время перпендикулярна перемещению.